初中中几何经典题Word格式.docx

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（1）求证：

AH=2OM；

（2）若∠BAC=60°

，求证：

AH=AO．（初二）

6．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．

AP=AQ．（初二）

7．如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

8．如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：

点P到AB的距离是AB的一半．

9．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F．

CE=CF．

10．如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F．

AE=AF．（初二）

11．设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

PA=PF．（初二）

12．如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：

AB=DC，BC=AD．

13．已知：

△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．

求：

∠APB的度数．（初二）

14．设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

∠PAB=∠PCB．

15．设ABCD为圆内接凸四边形，求证：

AB•CD+AD•BC=AC•BD．

16．平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF．求证：

∠DPA=∠DPC．（初二）

17．设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：

≤L＜2．

18．已知：

P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．

19．P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

20．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=80°

，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=30°

，∠EBA=20°

，求∠BED的度数．

参考答案与试题解析

考点：

相似三角形的判定与性质；

圆周角定理．菁优网版权所有

分析：

首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆，进而求出△GHF∽△OGE，再利用GH∥CD，得出==，即可求出答案．

解答：

证明：

作GH⊥AB，连接EO．

∵EF⊥AB，EG⊥CO，

∴∠EFO=∠EGO=90°

，

∴G、O、F、E四点共圆，

所以∠GFH=∠OEG，

又∵∠GHF=∠EGO，

∴△GHF∽△OGE，

∵CD⊥AB，GH⊥AB，

∵GH∥CD，

∴==，

又∵CO=EO，

∴CD=GF．

点评：

此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出GOFE四点共圆是解题关键．

正方形的性质；

全等三角形的判定与性质；

等边三角形的性质；

等边三角形的判定．菁优网版权所有

专题：

证明题．

在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．

∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°

∵∠PAD=∠PDA=15°

∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°

在正方形内做△DGC与△ADP全等，

∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°

∴∠PDG=90°

﹣15°

=60°

∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），

∴DP=DG=PG，

∵∠DGC=180°

=150°

∴∠PGC=360°

﹣150°

﹣60°

=∠DGC，

在△DGC和△PGC中

∴△DGC≌△PGC，

∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°

同理PB=AB=DC=PC，

∠PCB=90°

∴△PBC是正三角形．

本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．

正方形的判定；

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

连接BC1和AB1分别找其中点F，E，连接C2F与A2E并延长相交于Q点，根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2，EB2=FC2，然后证明得到∠B2FC2=∠A2EB2，然后利用边角边定理证明得到△B2FC2与△A2EB2全等，根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2C2，再根据角的关系推出得到∠A2B2C2=90°

，从而得到A2B2与B2C2垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A2B2C2D2是正方形．

如图，连接BC1和AB1分别找其中点F，E．连接C2F与A2E并延长相交于Q点，

连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，

由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC2，

∵∠GFQ+∠Q=90°

和∠GEB2+∠Q=90°

∴所以∠GEB2=∠GFQ，

∴∠B2FC2=∠A2EB2，

可得△B2FC2≌△A2EB2，

所以A2B2=B2C2，

又∠HB2C2+∠HC2B2=90°

和∠B2C2Q=∠EB2A2，

从而可得∠A2B2C2=90°

同理可得其它边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形．

本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

三角形中位线定理．菁优网版权所有

连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：

∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．

连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．

∵N是CD的中点，且NG∥AD，

∴NG=AD，G是AC的中点，

又∵M是AB的中点，

∴MG∥BC，且MG=BC．

∵AD=BC，

∴NG=GM，

△GNM为等腰三角形，

∴∠GNM=∠GMN，

∵GM∥BF，

∴∠GMF=∠F，

∵GN∥AD，

∴∠GNM=∠DEN，

∴∠DEN=∠F．

此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．

三角形的外接圆与外心；

三角形内角和定理；

等腰三角形的性质；

含30度角的直角三角形；

平行四边形的判定与性质；

垂径定理；

（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，得出平行四边形OMNF，即可得出答案．

（2）根据圆周角定理求出∠BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可．

（1）

过O作OF⊥AC，于F，

则F为AC的中点，

连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，

则FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，

∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，

∴OM∥AD，BE∥OF，

∵M为BC中点，N为CH中点，

∴MN∥BE，

∴OM∥FN，MN∥OF，

∴四边形OMNF是平行四边形，

∴OM=FN，

∵AH=2FN，

∴AH=2OM．

（2）证明：

连接OB，OC，

∵∠BAC=60°

∴∠BOC=120°

∴∠BOM=60°

∴∠OBM=30°

∴OB=2OM=AH=AO，

即AH=AO．

本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线．

圆周角定理；

垂线；

平行线的性质；

圆内接四边形的性质；

轴对称的性质．菁优网版权所有

作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，根据轴对称和平行线性质推出∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，求出∠FCQ=∠FAQ，推出FCAQ四点共圆，推出∠PEA=∠QFA，根据ASA推出△PEA和△QFA全等即可．

作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，

∵OA⊥MN，EF⊥OA，

则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，

∵E，F，C，D共圆

∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°

﹣∠FCD，

∵∠PAF=180﹣∠FAQ，

∴∠FCD=∠FAQ，

∴FCAQ四点共圆，

∠AFQ=∠ACQ=∠BED，

在△EPA和△FQA中

∴△EPA≌△FQA，

∴AP=AQ．

本题综合考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出∠AEP=∠AFQ，题型较好，有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，