拔高讲义第九章平面解析几何之第8讲曲线与方程教师版.docx

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拔高讲义第九章平面解析几何之第8讲曲线与方程教师版

第8讲　曲线与方程

最新考纲　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

知识梳理

1.曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上点的坐标与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解满足如下关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

2.求动点的轨迹方程的一般步骤

（1）建系——建立适当的坐标系.

（2）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）.

（3）列式——列出动点P所满足的关系式.

（4）代换——依条件式的特点，将其转化为x，y的方程式，并化简.

（5）证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

3.两曲线的交点

设曲线C1的方程为F1（x，y）＝0，曲线C2的方程为F2（x，y）＝0，则C1、C2的交点坐标即为方程组的实数解.

若此方程组无解，则两曲线无交点.

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

精彩PPT展示

（1）f（x0，y0）＝0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）＝0上的充要条件.（√）

（2）方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.（×）

（3）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.（×）

（4）方程y＝与x＝y2表示同一曲线.（×）

2.已知点F，直线l：

x＝－，点B是l上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（　　）

A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线

解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.

答案　D

3.设定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋（a＞0），则点P的轨迹是________.

解析　∵a＋≥2＝6（a＞0）.

当a＝3时，a＋＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，

P点的轨迹为线段F1F2，

当a≠3，a＞0时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|.

由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆.

答案　椭圆或线段

4.（2016·枣庄一模）已知△ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________.

解析　设A（x，y），则D，∴|CD|＝＝3，

化简得（x－10）2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，

∴A不能落在x轴上，即y≠0.

答案　（x－10）2＋y2＝36（y≠0）

5.（人教A选修2－1P37A4改编）已知⊙O方程为x2＋y2＝4，过M（4，0）的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为__________.

解析　根据垂径定理知：

OP⊥PM，

所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分，

以OM为直径的圆的方程为

（x－2）2＋y2＝4，它与⊙O的交点为（1，±），结合图形可知所求轨迹方程为（x－2）2＋y2＝4（0≤x＜1）.

答案　（x－2）2＋y2＝4（0≤x＜1）

考点一　直接法求轨迹方程

【例1】已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN的长为8.

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）已知点B（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：

直线l过定点.

（1）解　

如图，设动圆圆心为O1（x，y），

由题意，|O1A|＝|O1M|，

当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，

则H是MN的中点.

∴|O1M|＝，

又|O1A|＝，

∴＝，化简得y2＝8x（x≠0）.

当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标（0，0）也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

（2）证明　

由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），

P（x1，y1），Q（x2，y2），

将y＝kx＋b代入y2＝8x中，

得k2x2＋（2bk－8）x＋b2＝0.

其中Δ＝－32kb＋64>0.

由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①

x1x2＝，②

因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，

即y1（x2＋1）＋y2（x1＋1）＝0，

（kx1＋b）（x2＋1）＋（kx2＋b）（x1＋1）＝0，

2kx1x2＋（b＋k）（x1＋x2）＋2b＝0③

将①，②代入③得2kb2＋（k＋b）（8－2bk）＋2k2b＝0，

∴k＝－b，此时Δ>0，

∴直线l的方程为y＝k（x－1），即直线l过定点（1，0）.

规律方法　利用直接法求轨迹方程

（1）利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.

（2）运用直接法应注意的问题

①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.

②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.

【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程.

解　

（1）设F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0）.由题意，可得

|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，

整理得2＋－1＝0，

得＝－1（舍去）或＝.所以e＝.

（2）由

（1）知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，

直线PF2的方程为y＝（x－c）.

A，B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，

得方程组的解

不妨设A，B（0，－c）.

设点M的坐标为（x，y），则＝，

＝（x，y＋c）.

由y＝（x－c），得c＝x－y.

于是＝，＝（x，x），

由·＝－2，即·x＋·x＝－2，

化简得18x2－16xy－15＝0.将y＝代入c＝x－y，

得c＝＞0，所以x＞0.

因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0（x＞0）.

考点二　定义法求轨迹方程

【例2】已知圆M：

（x＋1）2＋y2＝1，圆N：

（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.

解　由已知得圆M的圆心为M（－1，0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1，0），半径r2＝3.设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为＋＝1（x≠－2）.

规律方法　

（1）求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.

（2）关键：

理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.

（3）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.

【训练2】已知圆C与两圆x2＋（y＋4）2＝1，x2＋（y－2）2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n.

（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；

（2）求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程.

解　

（1）两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1（0，－4），C2（0，2），由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为（0，－1），直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.

（2）因为m＝n，所以M（x，y）到直线y＝－1的距离与到点F（0，1）的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，而＝1，即p＝2，所以轨迹Q的方程是x2＝4y.

考点三　相关点法（代入法）求轨迹方程

【例3】设λ＞0，

点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹

方程.

解　由＝λ知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x，y），Q（x，y0），M（x，x2），

则x2－y0＝λ（y－x2），即y0＝（1＋λ）x2－λy.①

再设B（x1，y1），由＝λ，

即（x－x1，y0－y1）＝λ（1－x，1－y0），

解得②

将①式代入②式，消去y0，

得③

又点B在抛物线y＝x2上，

所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，得（1＋λ）2x2－λ（1＋λ）y－λ＝[（1＋λ）x－λ]2，

（1＋λ）2x2－λ（1＋λ）y－λ＝（1＋λ）2x2－2λ（1＋λ）x＋λ2，

2λ（1＋λ）x－λ（1＋λ）y－λ（1＋λ）＝0.

因λ＞0，两边同除以λ（1＋λ），得2x－y－1＝0.

故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.

规律方法　“相关点法”的基本步骤：

（1）设点：

设被动点坐标为（x，y），主动点坐标为（x1，y1）；

（2）求关系式：

求出两个动点坐标之间的关系式

（3）代换：

将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.

【训练3】设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.

解　设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），

∵⊥，＝（x0，－y0），＝（1，－y0），

∴（x0，－y0）·（1,－y0）＝0，

∴x0＋y＝0.

由＝2得（x－x0，y）＝2（－x0，y0），

∴即

∴－x＋＝0，

即y2＝4x.

故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.

[思想方法]

求轨迹方程的常用方法

1.直接法：

根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程.

2.定义法：

若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.

3.相关点法：

有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.

4.参数法：

动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现（或经过分析可发现）这个动点的运动与某一个量或某两个变量（角、斜率、比值、截距等）有关，可用参数法求出轨迹方程.

[易错防范]

1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：

一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.

2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.方程（2x＋3y－1）（－1）＝0表示的曲线是（　　）

A.两条直线B.两条射线

C.两条线段D.一条直线和一条射线

解