高校食堂窗口设置文档格式.docx
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学号：
1101080321
高校食堂窗口设置问题
一、摘要
随着我国高校的扩招及教育事业的发展，高校食堂在不断扩大其自身容量的同时，其在高校发展中扮演的作用也越来越重要，同时高校食堂也面临着经营管理方面问题的严峻挑战。
高校学生对食堂服务怨声载道,其中等待时间过长的问题尤为突出。
如何有效利用有限的人力、物力资源提高服务质量和效率成为高
校食堂赢利的关键。
在此讨论高校食堂服务系统窗口设置的优化问题。
根据各工作日不同时间段内顾客的多少适当地增减窗口，从而在顾客平均等待时间和银行服务窗口数量之间找到一个最优的状态。
在顾客等待时间容许的情况下,使银行所设的窗口最少从而使食堂的收益达到最大。
本文运用排队论原理针对高校食堂窗口设置问题建立了多服务窗口等待制M/M/N（即泊松输入、负指数分布服务、N个服务台）模型，最终求得了我校应在非周末、节假日设置7个食堂窗口；
对于周末、节假日设置5个食堂窗口是使学生和食堂达到满意程度的最优窗口设置数量。
关键词排队论食堂窗口M/M/N模型
二、问题重述
随着我校办学的不断发展，后勤工作，特别是直接面对学生的食堂工作，显得日趋重要。
我们在食堂常常看到这样一种现象：
由于在开餐的高峰期，学生就餐的人数多，而服务窗口较少，使得学生抱怨排队等待的时间太长。
再有，如果
服务窗口太多，对于食堂来讲浪费了一定的人力、物力，不利于食堂向高效益方面发展。
如何使双方都达到满意，这是我们迫切需要解决的实际问题。
请运用数学模型原理解决食堂服务窗口设置数量问题。
基本假设与符号说明
基本假设：
学生到达食堂的时间是独立的，服从一种特定的概率分布；
服务时间是独立的，服从一种特定的概率分布；
所有到达的学生都进入排队系统，并在那里直到服务结束；
排队系统有一个无限队列，因此可以容纳无限量的学生；
学生服务优先规则是先到先服务；
工作时间足够长，能使服务系统达到稳定状态；
每一个学生由一个服务窗口单独提供服务。
符号说明：
：
学生到达强度；
食堂窗口数量；
食堂中的学生数量；
食堂单个窗口的服务率；
系统的服务强度；
队长（平均学生数）；
队列长（等待的平均学生数）；
平均忙着的服务窗口个数；
学生等待时间；
学生逗留时间；
学生等待的概率；
在时刻系统中有个顾客（即状态为）的概率。
模型的建立与求解
3.1模型原理：
排队论是研究排队系统的理论，又称为随机系统的理论，它提供了很多不同的排队模型，通过这些排队模型能够找到服务成本和服务水平之间较好的平衡。
排队系统是由输入过程、排队规则和服务方式等3个组成部分。
输入过程指各种类型的顾客按怎样的规律到来.主要类型有定长输入、泊松输入和爱尔朗输入。
其中泊松输入适用最广泛。
排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。
主要有损失制、等待制和混合制。
服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客,每一顾客服务了多长时间。
主要有定长分布、负指数分布、爱尔朗分布几种方式。
排队现象是指顾客以特定的或变化不定的速度到来,按照一定的服务规则接受服务员服务的过程。
排队系统是指存在着排队现象的系统。
主要研究和计算的数量指标有:
（1）队长,系统中的全部顾客数；
（2）队列长,系统中排队的顾客数；
（3）顾客在系统中的逗留时间,包括顾客排队等候及被服务的时间；
（4）顾客在系统内排队等候时间；
（5）忙期,指服务机构连续接待顾客的时间长度,即指服务强度。
为了叙述方便,引入下列记号:
令M代表泊松输入或负指数分布服务,于是泊松输入、负指数分布服务、N个服务台的排队系统写成M/M/N。
3.1.1单服务窗等待质排队模型（M/M/1）
排队模型M/M/1表示顾客源为有限的，顾客的到达相互独立，到达规律服从参数的泊松分布；
单服务台，队长无限，先到先服务；
各顾客的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布。
确定系统在任意时刻的状态为的概率
已知顾客的到达规律服从参数为的泊松分布，服务时间服从参数为的负指数分布；
若有个顾客，只有一个接受服务，其余的顾客排队等待，有无限个位置可排队，于是在时间间隔内有：
有一个顾客到达的概率为.
没有一个顾客到达的概率为.
有一个顾客被服务完的概率为.
没有一个顾客被服务完的概率为.
多余一个顾客到达或服务完离去的概率为。
则在时刻系统中有个顾客（即状态为）的概率，可能的情况见表一。
表一状态的概率
这是一个生灭过程，四种情况是相互独立的事件，则有
，
整理得，
并令，则得
当时，类似地，可有
为求稳态解，假设当时，的极限存在，即有
则
这是关于的差分方程，也反映了系统状态的转移关系，即每一状态都是平衡的，见图一。
求得，递推可得.
图一M/M/1的状态转移关系图
令，称为服务强度。
即为平均到达率与平均服务率之比。
由概率的性质：
，即，于是
就是所求的系统状态为的概率。
系统的运行指标
（1）队长（平均顾客数）：
因为系统的状态为，由期望的定义得
.
队列长（等待的平均顾客数）：
系统中顾客的逗留时间：
系统中的一个顾客的逗留时间，服从于参数为的负指数分布，分布函数和分布密度分布为
所以有
系统中顾客的等待时间：
其中一个顾客平均服务时间为.
系统内多余个顾客的概率为
下列关系式又称为运行指标的Little公式：
3.1.2多服务窗等待质排队模型（M/M/N）
上面分析的是只有一个窗口服务的情形，对于我们来讲高校食堂的服务窗口大体是这样的，见图二：
图二高校食堂窗口设置图
这个系统可看成n个M/M/1型的子系统。
每个窗口的平均服务率不变，则每个窗口的平均到达率为，这时每个窗口的服务强度变为.
类似的我们可求出每个窗口的平均队长和平均等待时间为
，.
3.2问题分析：
对于学生到达食堂时,当其未能得到及时服务时,往往要排队等待,这就可以用排队论的有关原理来解决食堂窗口配置的问题。
根据学生到达食堂的实际情况,周末或者节假日超市的学生数要比平时相应的时间人数有明显的减少。
为便于研究,可以把学生到达看做符合泊松过程,而服务时间服从负指数分布。
因此,进一步说食堂服务系统可近似看做M/M/N排队系统,即顾客到达为泊松流、服务时间服从负指数分布、多个服务台的排队系统。
设系统有n个服务窗口，且各窗口工作是相互独立的，学生按泊松流到达的强度为；
又各窗口服务时间为负指数分布，单个窗口的平均服务率为，则整个食堂窗口的平均服务率为。
令，称为系统的服务强度。
当时，系统就会出现排队现象，即有学生在排队等待。
在此约定只排一个队等候，拿个窗口出现空闲时，等候的学生按先后顺序前往空闲的食堂窗口接受服务。
系统的排队模型如图三。
图三多服务窗口等待制模型M/M/n框图
由于系统没有限制学生来源和系统容量，故系统的可能状态集应为，由此可以画出系统的状态流图如图四。
图四M/M/n模型状态流图
如图四所示，状态表示系统内有个服务窗口忙着接待学生，其余个服务窗口空闲着；
当（到达系统的学生超过）时，个服务窗口均忙着接待学生，而余下的个学生排队等候。
3.2模型的建立
在平衡条件下，系统状态概率的平衡方程为
，，
，，。
由递推关系求得系统的状态概率为
当时，由有
于是
则可求得系统的运行指标
队列长
平均忙着的服务窗口个数
队长
学生等待时间
学生逗留时间
学生等待的概率
服务强度,它反映了工作人员的工作强度，其值越大,说明服务队列越长,工作人员空闲时间越少；
反之则队列越短,工作人员空闲时间越多，若,则认为系统不稳定,排队长度会越来越长。
3.3模型的求解
我们采集了两组数据:
（1）平时（周末、节假日除外）:
学生平均到达率为:
720人/小时,每个服务窗口平均服务率为180人/小时；
（2）周末、节假日：
504人/小时,每个服务窗口的服务率仍为180人/小时。
使用Matlab软件进行编程，如下：
function[P0,PN,lendaeff,Ls,Lq,Ws,Wq]=model1
lenda=input（'
请输入到达速率：
'
）;
mhu=inpurt（'
请输入服务速率：
n=input（'
请输入窗口个数：
rho=lenda/mhu;
P0=（1-rho）/（1-rho^（n+1））;
lendaeff=mhu（1-P0）;
u=n;
fori=1:
u
s1=u*（u-1）;
u=u-1;
end
fori=0:
n
o=m-ai;
o
s2=o*o-1;
o=o-1;
End
s3=symsun（s1/s2,0,n）
P0=（1/s3）*rho^ai;
PN=（s1/s2）*rho^n*P0;
Ls=n-rho（1-P0）;
Lq=Ls-（1-P0）;
Ws=Ls/lendaeff;
Wq=Lq/lendaeff;
P0
PN
Ls
Lq
Ws
Wq
求得结果如下：
图五计算结果图
3.4结果分析
如果服务强度,系统不稳定,肯定会有越来越多的人排队等待。
因此我们只计算了服务强度的情形。
从M/M/N系统服务指标表中可以看出:
平时如果配备6个服务窗口,学生需要滞留等候约107.8秒,而工作人员的服务强度为0.933,就是说,工作人员工作效率很高,有较少的空闲时间,但顾客得到服务较慢,等待的时间较长；
若配备7个服务窗口,则学生等待时间约为27.1秒,工作人员强度减小,有较多的休整时间。
若配备8个服务窗口,则学生几乎无需排队即可得到服务,但工作人员的工作时间显得松散.因此,平时配备7个服务窗口较适合；
对于周末、节假日,我们同样可以分析出配备5六个服务窗口为佳,此时顾客只需排队等待约23秒,就可得到服务,而工作人员的工作强度也适中。
因此,在没有其他条件限制的情况下,食堂管理层应适时的调整窗口的设置,非周末、节假日采用M/M/7系统；
对于周末、节假日采用M/M/5系统。
四、模型的评价及推广
本文分别统计了我校食堂在平时和周末、节假日时的学生平均到达率和每个服务窗口平均服务率，利用排队论的有关知识分析了高校食堂系统的特点,结合d单服务窗口等待制排队模型M/M/1构建了多服务窗口等待制排队模型M/M/N针对高校食堂窗口设置问题建立数学模型,通过求解数学模型,得到模型的最优解决方案。
该模型在满足学生要求和食堂规定的情况下对窗口设置进行了优化,减少了人力资源和财力资源的浪费。
该模型具有一定的普遍性,日常生活中经常可以遇到这种现象：
在火车站售票处乘客依次购买车票，医院里病人按挂号顺序等候就诊，超级市场收款台前顾客排队验货付款，打电话要等电话空闲时才能接同……，这类问题，都可用上述模型来解决。
参考文献：
【1】徐玖平，胡知能运筹学：
数据·
模型北京科学出版社，2006,第七章，P213-246
【2】陈东彦，李冬梅，王树忠数学建模北京科学出版社，2007，第十三章P305-333
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