组合数学复习题Word文档格式.docx

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=2个（即1和2两个长度为1的字符串）。

所证结论成立；

［归纳假设］当n=m（1≤m≤k）时，假设所证结论成立。

即，0出现偶数次，长度为m的字符串有

［归纳］当n=k+1时，0出现偶数次，长度为k+1的字符串包括两部分：

（1）给0出现偶数次，长度为k的字符串后面再增加一位不是0的数（只能是1或2），因此，按乘法原理，由归纳假设，此种字符串有

⋅2=3k+1个；

（2）给0出现奇数次，长度为k的字符串后面再增加一位是0的数，因此，按乘法原理，由归纳假设，此种字符串有

⋅1=

所以，按加法原理，0出现偶数次，长度为k+1的字符串共有

（3k+1）+

=

个。

归纳完毕。

方法二：

采用指数型母函数方法

设：

an—0出现偶数次，长度为n的字符串的个数，则{an}的指数型母函数

所以，

（规定a0=1）。

（b）利用组合意义法来证

考虑0出现偶数次，长度为n的字符串的个数。

根据上面（a），已证其个数为

；

另一方面，相当于先从n个位置中选取2m（0≤2m≤n）个（有

种选择）放置上数0,再在剩下的n-2m个位置上放置数1或2（有2n-2m种放法），按乘法原理，是

个，m=0,1,2,⋯,q（

）的方案数。

按加法原理，此方案数为

。

因此，我们有

1-26.在由n个0及n个1构成的字符串中，任意前k个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？

[解].转化为格路问题（弱领先条件—参见P36例4该例是强领先条件）。

即从（0,0）到（n,n），只能从对角线上方走，但可以碰到对角线。

它可看作是从（0,1）到（n,n+1）的强领先条件（只能从对角线上方走，但不可以碰到对角线）的格路问题。

更进一步的，它可看作是从（0,0）到（n,n+1）的强领先条件的格路问题（因为此种格路第一步必到（0,1）格点）。

故这样的字符串有

-

=C（2n,n）-C（2n,n-1）个。

1-27.在1到n的自然数中选取不同且互不相邻的k个数，有多少种选取方案？

[解].设：

g（n,k）为从1~n中选取不同且互不相邻的k个数的方案数。

于是，按这k个数中有无数n而分为两种情况：

（1）若选n，则必不能选n-1，故此种方案数为g（n-2,k-1）；

（2）若不选n，则可以选n-1，故此种方案数为g（n-1,k）；

所以，按加法原理，总的方案数g（n,k）=g（n-2,k-1）+g（n-1,k）。

且只有当n≥2k-1时，g（n,k）>

0；

否则g（n,k）=0。

因此，可给定初始值：

g（2k-1,k）=1，g（2k-2,k）=0。

2-18.在一圆周上取n个点，每一对顶点可做一弦。

不存在三弦共点的现象，求弦把圆分割成几部分？

[解].（参见P98例6）

设an为过n个点的每两点作一条弦，且不存在三弦共点的现象，弦把圆分割成部分的个数。

其中过n-1个点所作弦把圆分割成的部分为an-1，第n个点可以引出n-1条弦，第一条弦增加一个部分，第二条弦增加1⋅（n-3）+1个部分，第三条弦增加2⋅（n-4）+1个部分，……，第k条弦增加（k-1）⋅（n-k-1）+1个部分，……，第n-1条弦增加（n-1-1）⋅（n-（n-1）-1）+1=1个部分。

故

且

，

从而有　　

于是　　

同理可得

故有

对应的特征方程为

即

r=1是5重根

所以

n=2时，a2=A=2

n=3时，a3=A+B=4，

B=2

n=4时，a4=A+2B+C=8，

C=2

n=5时，a5=A+3B+3C+D=16，

D=2

n=6时，a6=A+4B+6C+4D+E=31，

E=1

或

2-19.求n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数。

an—n位二进制数种相邻两位不出现11的数的个数；

n位二进制数种相邻两位不出现11的数的个数，可分为两个部分：

（1）第n位是0，这时第n-1位既可以是0又可以是1，故从第1位到第n-1位形成n-1位二进制数中相邻两位不出现11的数，相应的数的个数为an-1；

（2）第n位是1，这时第n-1位只能是0，第n-2位既可以是0又可以是1，故从第1位到第n-2位形成n-2位二进制数中相邻两位不出现11的数，相应的数的个数为an-2；

因此，按加法原理，n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数

an=an-1+an-2。

初始条件a1=2，a2=3

因此，显然有an=Fn+2

所以，n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数是

2-20.从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现三次，求这样的排列的数目。

ak—从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目；

从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目，可分为两个部分：

（1）第k位与第k-1位不相同，因此，在前k-1位已形成满足条件的k-1位排列时，第k位只能有n-1种选择，相应的排列个数为（n-1）ak-1；

（2）第k位与第k-1位相同，因此，在前k-2位已形成满足条件的k-2位排列时，第k位与第k-1位一起只有n-1种选择，相应的排列个数为（n-1）ak-2；

因此，按加法原理，从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目

ak=（n-1）ak-1+（n-1）ak-2。

初始条件：

a1=n，a2=n2，a3=n3-n

方程为：

r2-（n-1）r-（n-1）=0

根为：

故递归方程的通解为：

ak=A⋅αk+B⋅βk

利用方程组：

Aα+Bβ=n

Aα2+Bβ2=n2

利用根α，β满足方程，可得方程组：

解之，得

所以，从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目

2.42.设{an}满足an-an-1-an-2=0，{bn}满足bn-2bn-1-bn-2=0，cn=an+bn，n=0,1,2,3,⋯，试证序列{cn}满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。

[解]方法一：

（特征系数法）

由于序列{an}满足递推关系：

an-an-1-an-2=0①

故显然也满足递推关系：

（an-an-1-an-2）+A1（an-1-an-2-an-3）+A2（an-2-an-3-an-4）=0

这里A1，A2为任意常数

整理为：

an+（A1-1）an-1+（A2-A1-1）an-2-（A1+A2）an-3-A2an-4=0②

由于序列{bn}满足递推关系：

bn-2bn-1-bn-2=0

故显然也满足递推关系：

（bn-2bn-1-bn-2）+B1（bn-1-2bn-2-bn-3）+B2（bn-2-2bn-3-bn-4）=0

这里B1，B1为任意常数

bn+（B1-2）bn-1+（B2-2B1-1）bn-2-（B1+2B2）bn-3-B2bn-4=0③

令：

解之得：

将此解代入②和③，有：

an-3an-1+3an-3+an-4=0④

bn-3bn-1+3bn-3+bn-4=0⑤

将④+⑤，并注意到cn=an+bn，我们有：

cn-3cn-1+3cn-3+cn-4=0⑥

这就是序列{cn}所满足的四阶线性常系数齐次递推关系。

（特征根法）

序列{an}的递推关系：

an-an-1-an-2=0

特征方程：

γ2-γ-1=0

特征根：

γ1=

，γ2=

故其通解为：

bn=A⋅（

）n+B⋅（

）n

序列{bn}的递推关系：

γ2-2γ-1=0

bn=C⋅（

）n+D⋅（

）n

于是有：

cn=an+bn=A⋅（

）n+C⋅（

因此序列{cn}所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为：

（γ-

）（γ-

）[γ-（

）][γ-（

）]=0

（γ2-γ-1）（γ2-2γ-1）=0

再整理为：

γ4-3γ3+3γ+1=0

因此，对应的四阶线性常系数齐次递推关系为：

cn-3cn-1+3cn-3+cn-4=0。

2.43.在习题2.42中，若cn=anbn，试讨论之。

[解]（特征根法）

cn=anbn=[A⋅（

）n][C⋅（

）n]

=AC⋅（

）n（

）n+AD⋅（

+BC⋅（

）n+BD⋅（

[γ-

（

）][γ-

）]

[γ2-（

）γ-（

）2][γ2-（

）2]=0

γ4-2γ3-7γ2-2γ+1=0

cn-2cn-1-7cn-2-2cn-3+cn-4=0。

2.44.设{an}和{bn}均满足递推关系xn+b1xn-1+b2xn-2=0，试证：

（a）{anbn}满