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1、=2个（即1和2两个长度为1的字符串）。所证结论成立；归纳假设当n=m（1mk）时，假设所证结论成立。即，0出现偶数次，长度为m的字符串有归纳当n=k+1时，0出现偶数次，长度为k+1的字符串包括两部分：（1）给0出现偶数次，长度为k的字符串后面再增加一位不是0的数（只能是1或2），因此，按乘法原理，由归纳假设，此种字符串有2=3k+1个；（2）给0出现奇数次，长度为k的字符串后面再增加一位是0的数，因此，按乘法原理，由归纳假设，此种字符串有1=所以，按加法原理，0出现偶数次，长度为k+1的字符串共有（3k+1）+ =个。归纳完毕。方法二：采用指数型母函数方法设：an0出现偶数次，长度为n的字

2、符串的个数，则an的指数型母函数所以，（规定a0=1）。（b）利用组合意义法来证考虑0出现偶数次，长度为n的字符串的个数。根据上面（a），已证其个数为；另一方面，相当于先从n个位置中选取2m（02mn）个（有种选择）放置上数0,再在剩下的n-2m个位置上放置数1或2（有2n-2m种放法），按乘法原理，是个，m=0,1,2,q （）的方案数。按加法原理，此方案数为。因此，我们有1-26.在由n个0及n个1构成的字符串中，任意前k个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？解.转化为格路问题（弱领先条件参见P36例4该例是强领先条件）。即从（0,0）到（n,n），只能从对角线上方走，但可以碰到

3、对角线。它可看作是从（0,1）到（n,n+1）的强领先条件（只能从对角线上方走，但不可以碰到对角线）的格路问题。更进一步的，它可看作是从（0,0）到（n,n+1）的强领先条件的格路问题（因为此种格路第一步必到（0,1）格点）。故这样的字符串有-=C（2n,n）-C（2n,n-1）个。1-27.在1到n的自然数中选取不同且互不相邻的k个数，有多少种选取方案？解.设：g（n,k）为从1n中选取不同且互不相邻的k个数的方案数。于是，按这k个数中有无数n而分为两种情况：（1）若选n，则必不能选n-1，故此种方案数为g（n-2,k-1）；（2）若不选n，则可以选n-1，故此种方案数为g（n-1,k）；所

4、以，按加法原理，总的方案数g（n,k）=g（n-2,k-1）+g（n-1,k）。且只有当n2k-1时，g（n,k）0；否则g（n,k）=0。因此，可给定初始值：g（2k-1,k）=1，g（2k-2,k）=0。2-18.在一圆周上取n个点，每一对顶点可做一弦。不存在三弦共点的现象，求弦把圆分割成几部分？解.（参见 P98例6）设an为过n个点的每两点作一条弦，且不存在三弦共点的现象，弦把圆分割成部分的个数。其中过n-1个点所作弦把圆分割成的部分为an-1，第n个点可以引出n-1条弦，第一条弦增加一个部分，第二条弦增加1（n-3）+1个部分，第三条弦增加2（n-4）+1个部分，第k条弦增加（k-1

5、）（n-k-1）+1个部分，第n-1条弦增加（n-1-1）（n-（n-1）-1）+1=1个部分。故 且 ， 从而有 于是 同理可得 故有 对应的特征方程为 即 r=1是5重根所以n=2时，a2=A=2n=3时，a3=A+B=4， B=2n=4时，a4=A+2B+C=8， C=2n=5时，a5=A+3B+3C+D=16， D=2n=6时，a6=A+4B+6C+4D+E=31， E=1或 2-19.求n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数。ann位二进制数种相邻两位不出现11的数的个数；n位二进制数种相邻两位不出现11的数的个数，可分为两个部分：（1）第n位是0，这时第n-1位既可以是0又可以

6、是1，故从第1位到第n-1位形成n-1位二进制数中相邻两位不出现11的数，相应的数的个数为an-1；（2）第n位是1，这时第n-1位只能是0，第n-2位既可以是0又可以是1，故从第1位到第n-2位形成n-2位二进制数中相邻两位不出现11的数，相应的数的个数为an-2；因此，按加法原理，n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数an= an-1+an-2 。初始条件a1=2，a2=3因此，显然有an=Fn+2所以，n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数是2-20.从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现三次，求这样的排列的数目。ak从n个文字中取k个文字作允许重复的排

7、列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目；从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目，可分为两个部分：（1）第k位与第k-1位不相同，因此，在前k-1位已形成满足条件的k-1位排列时，第k位只能有n-1种选择，相应的排列个数为（n-1）ak-1；（2）第k位与第k-1位相同，因此，在前k-2位已形成满足条件的k-2位排列时，第k位与第k-1位一起只有n-1种选择，相应的排列个数为（n-1）ak-2；因此，按加法原理，从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目ak=（n-1）ak-1+（n-1）ak-2 。初始

8、条件：a1=n，a2=n2，a3=n3-n方程为：r2-（n-1）r-（n-1）=0根为：故递归方程的通解为：ak=Ak+Bk利用方程组：A+B=nA2+B2=n2利用根，满足方程，可得方程组：解之，得所以，从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目2.42. 设an满足an - an-1- an-2 = 0，bn满足bn - 2bn-1- bn-2 = 0，cn = an + bn，n =0, 1, 2, 3, ，试证序列cn满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。解方法一：（特征系数法）由于序列an满足递推关系：an - an-1- an-2 = 0 故

9、显然也满足递推关系：（an - an-1- an-2） + A1（an-1 - an-2- an-3） + A2（an-2 - an-3- an-4） = 0这里A1，A2为任意常数整理为：an + （A1 - 1）an-1+ （A2 - A1 - 1）an-2 - （A1 + A2）an-3 - A2an-4 = 0 由于序列bn满足递推关系：bn - 2bn-1- bn-2 = 0 故显然也满足递推关系：（bn - 2bn-1- bn-2） + B1（bn-1 - 2bn-2- bn-3） + B2（bn-2 - 2bn-3- bn-4） = 0这里B1，B1为任意常数bn + （B1 -

10、 2）bn-1+ （B2 - 2B1 - 1）bn-2 - （B1 + 2B2）bn-3 - B2bn-4 = 0 令：解之得：将此解代入和，有：an - 3an-1 + 3an-3 + an-4 = 0 bn - 3bn-1 + 3bn-3 + bn-4 = 0 将+，并注意到cn = an + bn，我们有：cn - 3cn-1 + 3cn-3 + cn-4 = 0 这就是序列cn所满足的四阶线性常系数齐次递推关系。（特征根法）序列an的递推关系：an - an-1- an-2 = 0 特征方程： 2 - - 1 = 0特征根：1 =，2 =故其通解为：bn = A（）n + B（）n序列

11、bn的递推关系： 2 - 2 - 1 = 0bn = C（）n + D（）n 于是有：cn = an + bn = A（）n + C（因此序列cn所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为：（ -）（ -） -（） -（） = 0（ 2 - - 1）（ 2 - 2 - 1） = 0再整理为： 4 - 3 3 + 3 + 1 = 0因此，对应的四阶线性常系数齐次递推关系为：cn - 3cn-1 + 3cn-3 + cn-4 = 0 。2.43.在习题2.42中，若cn = anbn，试讨论之。解（特征根法）cn = anbn = A（）n C（）n = AC（）n（）n + AD（+ BC（）n + BD（ - （） -） 2 - （） - （）2 2 - （）2 = 0 4 - 2 3 - 7 2 - 2 + 1 = 0cn - 2cn-1- 7cn-2 - 2cn-3 + cn-4 = 0 。2.44. 设an和bn均满足递推关系xn + b1xn-1+ b2xn-2 = 0，试证：（a） anbn满