高中数学第一章立体几何初步122第3课时平面与平面平行学案新人教B版必修2Word格式文档下载.docx

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思考1　平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

思考2　过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？

梳理　平面平行的性质定理及推论

性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________

两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段________

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒________

α∥β∥γ，m∩α＝A，m∩β＝B，m∩γ＝C，n∩α＝E，n∩β＝F，n∩γ＝G⇒

＝

类型一　平面与平面平行的判定

例1　如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：

平面MNP∥平面A1BD.

引申探究

若本例条件不变，求证：

平面CB1D1∥平面A1BD.

反思与感悟　判定平面与平面平行的四种常用方法

（1）定义法：

证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．

（2）利用判定定理：

一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

（3）转化为线线平行：

平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

（4）利用平行平面的传递性：

若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

跟踪训练1　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

类型二　面面平行性质的应用

例2　如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．

若将本例改为：

点S在平面α，β之间（如图），其他条件不变，求CS的长．

反思与感悟　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

跟踪训练2　如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°

，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．

例3　如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：

四边形ABCD是平行四边形．

反思与感悟　本例充分利用了▱A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性质定理得线线平行．

跟踪训练3　如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：

四边形BED1F是平行四边形．

类型三　平行关系的综合应用

例4　设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：

MP∥平面β.

反思与感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：

跟踪训练4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，使得平面D1BQ∥平面PAO?

1．下列命题中正确的是（　　）

A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行

D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

2．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是（　　）

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是（　　）

A．互相平行B．交于一点

C．相互异面D．不能确定

4．若平面α∥平面β，a⊂α，下列说法正确的是________．

①a与β内任一直线平行；

②a与β内无数条直线平行；

③a与β内任一直线不垂直；

④a与β无公共点．

5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：

MN∥平面AA1B1B.

1．常用的平面与平面平行的其他几个性质

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

（2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　不一定．

思考2　平行．

梳理　两条相交直线　两条相交直线　两条直线

知识点二

思考1　是的．

梳理　平行　成比例　a∥b

题型探究

例1　证明　如图，连接B1C.

由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，

∴MN∥A1D.

又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，

∴MN∥平面A1BD.

连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.

又∵MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN＝N，

∴平面MNP∥平面A1BD.

证明　因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，

所以DD1綊BB1，

所以BDD1B1为平行四边形，

所以BD∥B1D1.

又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，

所以BD∥平面CB1D1，

同理A1D∥平面CB1D1.

又BD∩A1D＝D，

所以平面CB1D1∥平面A1BD.

跟踪训练1　证明　

（1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH是△A1B1C1的中位线，

所以GH∥B1C1.

又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面．

（2）因为E，F分别是AB，AC的中点，

所以EF∥BC.

因为EF⊄平面BCHG，

BC⊂平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

因为A1G∥EB，A1G＝EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB.

因为A1E⊄平面BCHG，

GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

因为A1E∩EF＝E，

所以平面EFA1∥平面BCHG.

例2　证明　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，

所以△SAC∽△SBD，

所以

，

即

所以SC＝272.

解　设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.

因为α∥β，所以AC与BD无公共点，

所以△ACS∽△BDS，所以

.

设CS＝x，则

，所以x＝16，

即CS＝16.

跟踪训练2　

解析　AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，且

，同理可得

，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为

所以△A′B′C′的面积为

例3　证明　∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，

∴A′D′∥B′C′.

∵A′D′⊄平面BB′C′C，

B′C′⊂平面BB′C′C，

∴A′D′∥平面BB′C′C.

同理AA′∥平面BB′C′C.

∵A′D′⊂平面AA′D′D，

AA′⊂平面AA′D′D，

且A′D′∩AA′＝A′，

∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.

又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，

∴AD∥BC.

同理可证AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形．

跟踪训练3　证明　如图，连接AC，BD，交点为O，连接A1C1，B1D1，交点为O1，连接BD1，EF，OO1，

设OO1的中点为M，

由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形．

又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，

所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，

BD1过OO1的中点M，

所以EF与BD1相交于点M，

所以E，B，F，D1四点共面．

又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，

平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，

所以ED1∥BF.

同理，EB∥D1F.

所以四边形BED1F是平行四边形．

例4　证明　如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，

连接DE，BE.

∵AE∥CD，

∴AE，CD确定一个平面，设为γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.

又α∥β，

∴AC∥DE（平面平行的性质定理），

取AE的中点N，连接NP，MN，

∵M，P分别为AB，CD的中点，

∴NP∥DE，MN∥BE.

又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，

∴NP∥β，MN∥β，

∵NP∩MN＝N，

∴平面MNP∥β.

∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，

∴MP∥β.

跟踪训练4　解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，

∴QB∥PA.

又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO，

∴QB∥平面APO.

∵P，O分别为DD1，DB的中点，

∴D1B∥PO.

同理可得D1B∥平面PAO，

又D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

当堂训练

1．B　2.A　3.A　4.②④

5．证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，∴

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B