高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案专题六 应用题 Word版含答案Word文档格式.docx

高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案专题六 应用题 Word版含答案Word文档格式.docx

《高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案专题六 应用题 Word版含答案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案专题六 应用题 Word版含答案Word文档格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

所以＋＝，

即＝（－）．

于是仓库的容积＝柱＋锥＝·

＋·

＝＝（－），＜＜，

从而′＝（－）＝（－）．

令′＝，得＝或＝－（舍去）．

当＜＜时，′＞，是单调增函数；

当＜＜时，′＜，是单调减函数．

故当＝时，取得极大值，也是最大值．

因此，当＝时，仓库的容积最大．

[方法归纳]

解函数应用题的四步骤

[变式训练]

．（·

苏锡常镇二模）某科研小组研究发现：

一棵水蜜桃树的产量（单位：

百千克）与肥料费用（单位：

百元）满足如下关系：

＝－，且投入的肥料费用不超过百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为元千克（即百元百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（）（单位：

百元）．

（）求利润函数（）的函数关系式，并写出定义域；

（）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？

最大利润是多少？

解：

（）（）＝－－＝－－（≤≤）．

（）法一：

（）＝－－＝－≤－＝.

当且仅当＝（＋）时，即＝时取等号．

故（）＝.

答：

当投入的肥料费用为元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是元.

法二：

′（）＝－，由′（）＝，得＝.

故当∈（）时，′（）>

，（）在（）上单调递增；

当∈（）时，′（）<

，（）在（）上单调递减．

所以当＝时，（）取得极大值，也是最大值，

故（）＝（）＝.

当投入的肥料费用为元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是元．

南通三模）如图，半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为百米．为了保护景点，基地管理部门从道路上选取一点，修建参观线路－－－，且，，均与半圆相切，四边形是等腰梯形．设＝百米，记修建每百米参观线路的费用为（）万元，经测算（）＝

（）用表示线段的长；

（）求修建该参观线路的最低费用．

设与半圆相切于点，则由四边形是等腰梯形知⊥，＝，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

由题意得，点的坐标为，

设直线的方程为－＝（<

），

即－＋－＝.

因为直线与半圆相切，

所以圆心到直线的距离为＝，

解得＝.

代入－＝可得，点的坐标为.

所以＝＝＋，

即＝＋（<

<

）．

设切圆于点，连结，

过点作⊥，垂足为.

因为＝，∠＝∠，∠＝∠，

所以△≌△，所以＝＝－.

由＝＋＝＋,

所以＝＋（<

的长为百米．

（）设修建该参观线路的费用为万元．

①当<

≤时，＝＝，

由′＝<

，得在上单调递减．

所以当＝时，取最小值为.

②当<

时，＝＝＋－－，

所以′＝－＋＝，

因为<

，所以＋－>

，

所以当∈时，′<

；

当∈（）时，′>

所以在上单调递减；

在（）上单调递增．

由①②知，取最小值为.

修建该参观线路的最低费用为万元.

基本不等式的实际应用

南京考前模拟）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为＝（≥）．已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需再投入万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：

“平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和.

（）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数；

（）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

最大利润为多少？

[解]　（）由题意可得，产品的生产成本为（＋）万元，

每件销售价为×

＋×

.

∴年销售收入为·

＝＋.

∴年利润＝＋－－＝－＝＋－＝·

＋－（≥）．

（）令＋＝（≥），则＝·

＋－（－）＝－＋－＝－.

∵≥，∴＋≥＝，即≤，

当且仅当＝，即＝时，有最大值，此时＝.

即当年广告费为万元时，企业年利润最大，最大值为万元．

利用基本不等式求解实际应用题的注意点

（）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

（）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围对应函数的单调性求解．

（·

苏州期末）某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图）如下，

其中，点，为轴上关于原点对称的两点，曲线段是桥的主体，为桥顶，并且曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为＝（∈[－，]），曲线段，均为开口向上的抛物线段，且，分别为两抛物线的顶点．设计时要求：

保持两曲线在各衔接处（，）的切线的斜率相等．

（）求曲线段在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

（）车辆从经到爬坡，定义车辆上桥过程中某点所需要的爬坡能力为：

＝（该点与桥顶间的水平距离）×

（设计图纸上该点处的切线的斜率）其中的单位：

米．若该景区可提供三种类型的观光车：

①游客踏乘；

②蓄电池动力；

③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为米，米，米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

（）由题意为抛物线的顶点，设（）（＜－），则可设方程为＝λ（－）（≤≤－，λ＞），′＝λ（－）．

∵曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为＝（∈[－]），

∴′＝，且（－），

则曲线在处的切线斜率为，

∴∴＝－，λ＝，

∴曲线段在图纸上对应函数的解析式为＝（＋）（－≤≤－）．

（）设为曲线段上任意一点．

①在曲线段上时，则通过该点所需要的爬坡能力（）＝（－）·

（＋）＝－[（＋）－]，

在[－，－]上为增函数，[－，－]上是减函数，所以爬坡能力最大为米；

②在曲线段上时，则通过该点所需要的爬坡能力（）＝（－）·

＝（∈[－]），

设＝，∈[]，（）＝＝.

当＝时，＝；

当＜≤时，＝≤（＝取等号），此时最大为米．

由上可得，最大爬坡能力为米．

∵＜＜＜，

∴游客踏乘不能顺利通过该桥，蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥.

三角函数的实际应用

[例]　（·

江苏高考）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为，容器Ⅰ的底面对角线的长为，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为和.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为.现有一根玻璃棒，其长度为.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

[解]（）由正棱柱的定义知，⊥平面，所以平面⊥平面，⊥.

如图，记玻璃棒的另一端落在上点处．

因为＝，＝，

所以＝＝，从而∠＝.

记与水面的交点为，过作⊥，为垂足，则⊥平面，故＝，

从而＝＝.

玻璃棒没入水中部分的长度为.

（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为）

（）如图，，是正棱台的两底面中心．

由正棱台的定义知，

⊥平面，所以平面⊥平面，⊥.

同理，平面⊥平面，⊥.

记玻璃棒的另一端落在上点处．

过作⊥，为垂足，

则＝＝.

所以＝＝，

从而＝＝＝.

设∠＝α，∠＝β，

则α＝＝∠＝.

α<

π，所以α＝－.

在△中，由正弦定理可得＝，

解得β＝.

β<

，所以β＝.

于是∠＝（π－α－β）＝（α＋β）＝αβ＋αβ＝×

＝.

记与水面的交点为，过作⊥，为垂足，则⊥平面，

故＝，从而＝＝.

解三角形应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解.

解三角形应用题常见的两种情况：

实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程组，解方程组得出所要求的解.

如图，经过村庄有两条夹角为°

的公路，，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求＝＝＝（单位：

千米）．记∠＝θ.

（）将，用含θ的关系式表示出来；

（）如何设计（即，为多长），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最大）?

（）由已知得∠＝°

，∠＝θ，＝，

在△中，

由正弦定理得＝＝，

所以＝θ，＝（°

－θ）＝（θ＋°

（）在△中，由余弦定理可得＝＋－·

∠

＝（θ＋°

）＋－（θ＋°

）（θ＋°

）

＝[－（θ＋°

）]－（θ＋°

）＋

＝－[（θ＋°

）＋（θ＋°

）]＋

＝－（θ＋°

），＜θ＜°

当且仅当θ＋°

＝°

，即θ＝°

时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时＝＝.

[课时达标训练]

苏锡常镇一模）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图），设计要求彩门的面积为（单位：

），高为（单位：

）（，为常数），彩门的下底固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为.

（）请将表示成关于α的函数＝（α）；

（）当α为何值时最小？

并求的最小值．

（）过作⊥于点（图略），

则∠＝α，＝,设＝，

则＝，＝，＝＋，

因为＝·

，则＝－.

所以＝（α）＝＋＝＋.

表示成关于α的函数为＝（α）＝＋.

（）′（α）＝·

＝·

令′（α）＝·

＝，得α＝.

列表如下：

α

′（α）

－

＋

（α）

极小值

所以＝＝＋.

当α＝时，有最小值为＋.

.如图是某设计师设计的型饰品的平面图，其中支架，，两两成°

，＝，＝＋，且＞.现设计师在支架上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为，且与长成正比，比例系数为（为正常数）；

在△区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为，且与△的面积成正比，比例系数为.设＝，＝.

（）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；

（）求－的最大值及相应的的值．

（）因为＝，＝，＝＋，

由余弦定理得，＋－°

＝（＋），

由＞，＞得，＜＜，又＞，得＞，

得＜＜，

所以的取值范围是.

（）设＝＝