曾量子力学题库网用要点doc文档格式.docx
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17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系
18.（4）简述力学量算符的性质
19.（4）试述力学量完全集的概念
20.（4）试讨论：
若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？
21.（4）若算符
、
均与算符
对易，即
，
是否可同时取得确定值？
并举例说明。
22.（4）对于力学量A与B，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。
23.（4）微观粒子
方向的动量
和
方向的角动量
是否为可同时有确定值的力学量？
24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式
25.（4）简述幺正变换的性质
26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示
27.（4）粒子处在
的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schrö
dinger方程。
28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。
29.（4）如果
均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
a）
b）
30.（5）试述守恒量完全集的概念
31.（5）全同粒子有何特点？
对波函数有什么要求？
32.（5）试述守恒量的概念及其性质
33.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？
34.（5）电子在均匀电场
中运动，哈密顿量为
。
试判断
各量中哪些是守恒量，并给出理由。
35.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？
36.（6）中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值
37.（6）写出中心力场中的粒子的所有守恒量
38.（6）试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较
39.（6）二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同，并给出二维、三维各向同性谐振子能级简并度。
40.（6）氢原子体系处于状态
，给出
可能取值及取值几率，并说明该状态是否是定态？
41（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为
，试列举出几种该量子体系力学量完全集的选取方案。
42.（7）什么是正常Zeeman效应？
写成与其相应的哈密顿量，并指出系统的守恒量有哪些。
43.（8）试给出电子具有自旋的实验依据
44.（8）写出
表象中
的本征值与本征态矢
45.（8）试述旋量波函数的概念及物理意义
46.（8）以
分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。
47.（8）若|α>
和|β>
是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项），试给出|α>
态的守恒量完全集
48.（10）若在
表象中，
与
的矩阵分别为
是否可以将
看作微扰，从而利用微扰理论求解
的本征值与本征态？
为什么?
49.（11）利用Einstein自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。
50.（11）是否能用可见光产生1阿秒（
s）的激光短脉冲，利用能量—时间测不准关系说明原因。
51.（11）试给出跃迁的Fermi黄金规则（goldenrule）公式，并说明式中各个因子的含义。
52.（8）在质心坐标系中，设入射粒子的散射振幅为
，写出靶粒子的散射振幅，并分别写出全同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。
二、判断正误题（请说明理由）
1.
（2）由波函数可以确定微观粒子的轨道
2.
（2）波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的
3.
（2）平面波表示具有确定能量的自由粒子，故可用来描述真实粒子
4.
（2）因为波包随着时间的推移要在空间扩散，故真实粒子不能用波包描述
5.
（2）正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系
6.
（2）测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准
7.
（2）设一体系的哈密顿
与时间
无关，则体系一定处于定态
8.
（2）不同定态的线性叠加还是定态
9.（3）对阶梯型方位势，定态波函数连续，则其导数必然连续
10.（3）
显含时间t，则体系不可能处于定态，
不显含时间t，则体系一定处于定态
11.（3）一维束缚态能级必定数非简并的
12.（3）一维粒子处于势阱中，则至少有一条束缚态
13.（3）粒子在一维无限深势阱中运动，其动量一定是守恒量
14.（3）量子力学中，静止的波是不存在的
15.（3）δ势阱不存在束缚态
16.（4）自由粒子的能量本征态可取为
，它也是
的本征态
17.（4）若两个算符有共同本征态，则它们彼此对易
18.（4）在量子力学中，一切可观测量都是厄米算符
19.（4）如果
是厄米算符，其积
不一定是厄米算符
20.（4）能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态
21.（4）若
对易，则
在任意态中可同时确定
22.（4）若
不对易，则
在任何情况下不可同时确定
23.（4）
不可同时确定
24.（4）若
的本征函数必是
的本征函数
25.（4）对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并
26.（4）若两个三个，则它们不可能同时有确定值
27.（4）测不准关系只适用于不对易的物理量
28.（4）根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，只能求其平均值
29.（4）力学量的平均值一定是实数
30.（5）体系具有空间反演不变性，则能量本征态一定具有确定的宇称
31.（5）在非定态下力学量的平均值随时间变化
32.（5）体系能级简并必然是某种对称性造成的
33.（5）量子体系的守恒量无论在什么态下，平均值和几率分布都不随时间改变
34.（5）全同粒子系统的波函数必然是反对称的
35.（5）全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变
36.（5）描述全体粒子体系的波函数，对内部粒子的随意交换有确定的对称性
37.（6）粒子在中心力场中运动，若角动量
是守恒量，那么
就不是守恒量
38.（6）在中心力场
中运动的粒子，轨道角动量各分量都守恒
39.（6）中心力场中粒子的能量一定是简并的
40.（6）中心力场中粒子能级的简并度至少为
41.（8）电子的自旋沿任何方向的投影只能取
42.（8）两电子的自旋反平行态为三重态
三、证明题：
1.
（2）试由Schrö
dinger方程出发，证明
，其中
2.（3）一维粒子波函
数满足定态Schrö
dinger方程，若
都是方程的解，则有
3.（3）设
是定态薛定谔方程对应于能量
的非简并解，则此解可取为实解
4.
（2）设
的简并解，试证明二者的线性组合也是该定态方程对应于能量
的解。
5.（3）对于
势垒，
，试证
势中
的跃变条件
6.（3）设
是定态薛定谔方程
的一个解，对应的能量为
，试证明
也是方程的一个解，对应的能量也为
7.（3）一维谐振子势场
中的粒子处于任意的非定态。
试证明该粒子的位置概率分布经历一个周期
后复原。
8.（3）对于阶梯形方势场
，若
有限，则定态波函数
及其导数
必定连续。
9.（3）证明一维规则势场中运动的粒子，其束缚态能级必定是非简并的
10.（4）证明定理：
体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数
11.（4）证明定理：
厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交
12.（4）证明：
在定态中几率流密度矢量与时间无关
13.（4）令
为厄密算符
14.（4）试证
15.（4）设
是一个幺正算符且对
可导，证明
†是厄米算符。
16.（4）已知
是厄米算符，证明（
+
）和
2也是厄米算符
17.（4）试证明：
任何一个力学量算符在它以自己的本征矢为基矢的表象中的表示为对角矩阵
18.（4）试证明
算符的矩阵元是
19.（4）试证明
20.（4）若厄米算符
具有共同本征函数，即
，而且构成体系状态的完备函数组，试证明
构成完备基组，证明：
22.（4）证明两个线性算符之和仍为线性算符
23.（4）设算符
，若
为
的本征函数，相应的本征值为
，求证
也是
的本征函数，并求出相应的本征值。
24.（4）试证明
是角动量平方算符
属于本征值
的本征函数。
25.（4）试证明表象变换并不改变算符的本征值
26.（4）证明对易关系
27.（4）证明在
的本征态下
28.（4）设粒子处于
状态下，证明
29.（4）证明谐振子的零点能
是测不准关系
的直接结果。
30.（4）一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零
31.（4）如果厄米算符A对任何矢量|u>
，有<
u|A|u>
≧0，则称A为正定算符。
试证明算符A=|a>
<
a|为厄米正定算符
32.（5）设全同二粒子的哈密顿量为
，波函数为
，试证明交换算符
是个守恒量
33.（5）证明在定态下，任意不显含时间t力学量A取值几率分布不随时间改变。
34.（5）设力学量A是守恒量，证明在任意态下A的取值概率分布不随时间改变。
35.（5）证明：
量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值不随时间改变。
36.（5）试证在一维势场
中运动的粒子所受势壁的作用力在束缚定态中的平均值为0（提示：
利用对易关系
）
37.（5）设系统的哈密顿量为
，厄米算符
对易。
试证明
是
的均方根偏差，即
，式中尖括号表示求平均值。
38.（5）如果
，但
的本征值必有简并。
39.（5）粒子在对数函数型势场中运动，
，其中常数
试利用Virial定理证明：
各束缚态的动能平均值相等。
40.（5）试根据力学量平均值表达式
证明力学量平均值随时间的变化为
为体系的哈密顿
41.（4、5）证明：
宇称算符的本征函数非奇即偶
42.（5）设粒子处在对称的双方势阱中
（1）在
情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并；
（2）证明
取有限值情况下，简并将消失。
43.（5、6）证明在氢原子的任何定态
中，动能的平均值等于该定态能量的负值，即
44.（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为
，证明中心力场中运动的粒子角动量守
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