浙江专用版学年高中数学第一章三角函数13三角函数的诱导公式一学案新人教A版必修2Word文档格式.docx
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答案 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式四
sin（π－α）＝sinα，
cos（π－α）＝－cosα，
tan（π－α）＝－tanα.
梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
1．诱导公式中角α是任意角．（ ×
）
提示 正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
2．sin（α－π）＝sinα.（ ×
提示 sin（α－π）＝sin[－（π－α）]＝－sin（π－α）＝－sinα.
3．cos
π＝－
.（ √ ）
提示 cos
＝cos
＝－cos
＝－
.
4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．（ ×
提示 在角度制和弧度制下，公式都成立．
类型一 利用诱导公式求值
命题角度1 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值：
（1）cos210°
；
（2）sin
（3）sin
（4）cos（－1920°
）．
考点 同名诱导公式（二、三、四）的综合应用
题点 同名诱导公式（二、三、四）的综合应用
解
（1）cos210°
＝cos（180°
＋30°
）
＝－cos30°
＝sin
＝
＝－sin
）＝cos1920°
＝cos（5×
360°
＋120°
＝cos120°
－60°
）＝－cos60°
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
（1）“负化正”：
用公式一或三来转化．
（2）“大化小”：
用公式一将角化为0°
到360°
间的角．
（3）“角化锐”：
用公式二或四将大于90°
的角转化为锐角．
（4）“锐求值”：
得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值：
（1）sin1320°
（2）cos
（3）tan（－945°
解
（1）方法一 sin1320°
＝sin（3×
＋240°
＝sin240°
＝sin（180°
＋60°
）＝－sin60°
方法二 sin1320°
＝sin（4×
－120°
）＝sin（－120°
＝－sin（180°
（2）方法一 cos
方法二 cos
）＝－tan945°
＝－tan（225°
＋2×
＝－tan225°
＝－tan（180°
＋45°
）＝－tan45°
＝－1.
命题角度2 给值求值或给值求角问题
例2
（1）已知sin（π＋θ）＝－
cos（2π－θ），|θ|<
，则θ等于（ ）
A．－
B．－
C.
D.
答案 D
解析 由sin（π＋θ）＝－
，
可得－sinθ＝－
cosθ，|θ|<
即tanθ＝
，|θ|<
，∴θ＝
（2）已知cos
，求cos
－sin2
的值．
解 因为cos
sin2
＝sin2
＝1－cos2
＝1－
2＝
所以cos
－
反思与感悟
（1）解决条件求值问题的策略
①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
（2）对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
跟踪训练2 （2017·
大同检测）已知sinβ＝
，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）的值为（ ）
A．1B．－1C.
D．－
考点 诱导公式二、三、四
题点 诱导公式二
解析 由cos（α＋β）＝－1，得α＋β＝2kπ＋π（k∈Z），
则α＋2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β（k∈Z），
sin（α＋2β）＝sin（2kπ＋π＋β）＝sin（π＋β）
＝－sinβ＝－
类型二 利用诱导公式化简
例3 化简下列各式：
（1）
（2）
解
（1）原式＝
＝－tanα.
（2）原式＝
引申探究
若本例
（1）改为：
（n∈Z），请化简．
解 当n＝2k时，
原式＝
＝－tanα；
当n＝2k＋1时，
反思与感悟 三角函数式的化简方法
（1）利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
（2）常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
（3）注意“1”的变式应用：
如1＝sin2α＋cos2α＝tan
跟踪训练3 化简下列各式：
＝1.
1．已知tanα＝4，则tan（π－α）等于（ ）
A．π－4B．4C．－4D．4－π
考点 公式二、三、四
题点 公式四
答案 C
解析 tan（π－α）＝－tanα＝－4.
2．sin585°
的值为（ ）
B.
C．－
题点 公式二
答案 A
解析 sin585°
＝sin（360°
＋225°
）＝sin（180°
＝－sin45°
3．（2018·
牌头中学月考）利用诱导公式化简：
sin（π－x）＝________，sin（π＋x）＝________.
答案 sinx －sinx
4．已知600°
角的终边上有一点P（a，－3），则a的值为______．
答案 －
解析 tan600°
＝tan（360°
）＝tan（180°
＝tan60°
，即a＝－
5．化简：
·
sin（α－2π）·
cos（2π－α）．
解 原式＝
[－sin（2π－α）]·
cos（2π－α）
sinα·
cosα＝cos2α.
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～
之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．
一、选择题
1．（2017·
绍兴期末）cos（π＋x）等于（ ）
A．cosxB．－cosx
C．sinxD．－sinx
答案 B
解析 由诱导公式得cos（π＋x）＝－cosx.
2．（2017·
绵阳检测）已知sin
，则sin
A.
解析 sin
3．已知sin（π＋α）＝
，且α是第四象限角，则cos（α－2π）的值是（ ）
解析 因为sin（π＋α）＝
，且sin（π＋α）＝－sinα，
所以sinα＝－
又因为α是第四象限角，
所以cos（α－2π）＝cosα＝
4．（2017·
天津一中期末）化简sin2（π＋α）－cos（π＋α）·
cos（－α）＋1的值为（ ）
A．1B．2sin2αC．0D．2
解析 原式＝（－sinα）2－（－cosα）·
cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
5．记cos（－80°
）＝k，那么tan100°
等于（ ）
B．－
C.
D．－
题点 公式三
解析 ∵cos（－80°
）＝k，∴cos80°
＝k，
∴sin80°
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