全等三角形与三角形全等的条件一对一辅导讲义Word格式.docx
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5．△ACB AAS6·
D7·
D8·
A
二、知识梳理
知识要点：
要点1：
全等三角形的概念及其性质
（1）全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形性质：
对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等
要点2：
全等三角形的判定
（1）两边及夹角对应相等SAS；
（2）两角及夹边对应相等ASA；
（3）两角及其中一角的对边对应相等AAS；
（4）三边对就应相等SSS。
要点3：
找全等三角形的对应边，对应角的方法
（1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。
（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，
反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。
（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。
（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。
要点4：
寻找两个三角形全等的途径
（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点
①有两组对应角相等时；
找
②有两组对应边相等时；
③有一边，一邻角相等时；
④有一边，一对角相等时；
找任一组角相等（AAS）
（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素
如图
（一）中的AD，图
（二）中的BC都是相应三角形的公共元素。
图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。
图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。
三、例题讲解：
例1.如图，
四点共线，
，
。
求证：
.思路分析：
从结论
入手，全等条件只有
；
由
两边同时减去
得到
，又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件，可以是
，也可以是
由条件
可得
，再加上
，可以证明
，从而得到
解答过程：
在
与
中
∴
（HL）
，即
（SAS）
解题后的思考：
本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：
一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；
另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。
再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。
小结：
本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路
例2.如图，在
中，
是∠ABC的平分线，
，垂足为
思路分析：
直接证明
比较困难，我们可以间接证明，即找到
，证明
且
也可以看成将
“转移”到
那么
在哪里呢？
角的对称性提示我们将
延长交
于
，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。
延长
交
（ASA
又
由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例3.如图，在
为
延长线上一点，点
上，
，连接
和
可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。
以线段
为边的
绕点
顺时针旋转
到
的位置，而线段
正好是
的边，故只要证明它们全等即可。
延长线上一点
利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。
利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。
这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
例4.如图，
是
的边
上的点，且
的中线。
要证明“
”，不妨构造出一条等于
的线段，然后证其等于
因此，延长
至
，使
至点
三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。
四、课堂练习
一、选择题：
1.能使两个直角三角形全等的条件是（）
A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等D.斜边相等
2.根据下列条件，能画出唯一
的是（）
A.
B.
C.
D.
3.如图，已知
，增加下列条件：
①
②
③
④
其中能使
的条件有（）
A.4个B.3个C.2个D.1个
（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）
4.如图，已知
，则
等于（）
B.
C.
D.无法确定
二、填空题：
5.如图，在
的平分线
于点
，且
，则点
的距离等于__________
6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，
为折痕，则
的大小为_________；
三、解答题：
7.如图，
为等边三角形，点
分别在
上，且
交于
点。
求
的度数。
8.如图，
上一点，
，交
延长线于
9.如图，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=BC，AD//BC.求证：
（1）AC=EF，
（2）AC⊥EF
10.已知：
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：
BD=2CE.
参考答案
1.A2.C3.B4.C
5.46.
7.解：
为等边三角形
8.证明：
（AAS）
9.证明：
（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°
又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°
，∠3=∠4=90°
∴∠DAB＋∠EAF=180°
∴∠B=∠EAF
在△ABC和△FAE中
∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF
（2）∵△ABC≌△FAE
∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F
∴∠2=∠3又∵∠3=90°
∴∠2=90°
∴AG⊥EF，即AC⊥EF
10.
证明：
延长BA、CE交于点F.
∵∠3=90°
，∴∠5＋∠F=90°
又∵BE⊥CE，∴∠4=90°
，∠7=90°
∴∠1＋∠F=90°
，∠6=180°
－90°
=90°
∴∠1=∠5
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=FC
在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC（ASA）
∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC
五、课堂小结
（1）全等三角形的概念及其性质
（2）全等三角形的判定
（3）找全等三角形的对应边，对应角的方法
（4）寻找两个三角形全等的途径
六、课后作业
一、填空题
1·
如图
（1），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是__________三角形．
2·
如图
（2），AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，交BD于P，则PD__________PE（填“<
”或“>
”或“=”）．
3．如图（3），△ABC中，AB=AC，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线应是____________________________．
图
（1）图
（2） 图（3） 图（4）
4．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=__________．
5．如图（4），AD=AE，若△AEC≌△ADB，则需增加的条件是______________．（至少三个）
二、选择题
6．如图（8），图中有两个三角形全等，且∠A=∠D，AB与DF是对应边，则下列书写最规范的是（）
A．△ABC≌△DEFB．△ABC≌△DFE
C．△BAC≌△DEFD．△ACB≌△DEF
7．如图（9），AC=AB，AD平分∠CAB，E在AD上，则图中能全等的三角形有____________对
A．1B．2C．3D．4
图（8） 图（9） 图（10） 图（11）
8．如图（10），△ABC中，D、E是BC边上两点，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°
，∠BAE=60°
，则∠CAD等于
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