届高考数学江苏专用应用题中的瓶颈题讲解.docx

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届高考数学江苏专用应用题中的瓶颈题讲解

　第3讲应用问题中的“瓶颈题”

数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:

（1）函数与不等式模型;

（2）函数与导数模型;（3）三角函数模型;（4）数列模型.解决实际问题的一般步骤:

（1）阅读题目,理解题意;

（2）设置变量,建立函数关系;（3）应用函数知识或数学方法解决问题;（4）检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:

分类解密———专题突破

函数与不等式模型的应用题

例1　某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g（x）,加工完B型零件所需时间为h（x）.

（1）比较g（x）与h（x）的大小,并写出完成总任务的时间f（x）的解析式;

（2）应怎样分组,才能使完成任务用时最少?

练习　如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.

（1）用x,y,a,b表示S;

（2）若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,y的值.

（练习）

函数与导数模型的应用题

例1　某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上）,公共设施边界为曲线f（x）=1-ax2（a>0）的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P（t,f（t））.

（1）将△OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S（t）;

（2）若在t=处,S（t）取得最小值,求此时a的值及S（t）的最小值.

（例1）

练习　在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:

①下潜时,平均速度为v（米/单位时间）,单位时间内用氧量为cv2（c为正常数）;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为（米/单位时间）,单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.

（1）求出y关于v的函数解析式;

（2）设0

三角形与三角函数模型

例1　如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2.

（1）用a,θ表示S1和S2;

（2）当a固定,θ变化时,求的最小值.

（例1）

练习　（2014·淮安中学）如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.

（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.

（2）求当矩形ABCD的面积S最大时,θ的值,并求最大值.（用含R的式子表示）

（练习）

解析几何模型

例1　一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:

台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为r（r>0）km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线,假设台风中心不移动.

（1）r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?

（2）当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?

练习　（2014·江苏卷）如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:

新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）,tan∠BCO=.

（1）求新桥BC的长;

（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

（练习）

数列模型

例1　商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:

由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5%,按复利计算）,公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.

（1）若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:

到哪一年可还清建行全部贷款?

（2）若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?

（精确到元,参考数据:

lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774）

练习　某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f（x）=（单位:

万元）.为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g（x）=,例如,g（3）=.

（1）求g（10）;

（2）求第x个月的当月利润率;

（3）该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?

并求出该月的当月利润率.

立体几何体模型

例1　某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位:

m）,其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为m3,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千元.设该容器的建造费用为y千元.

（1）求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;

（2）求该容器的建造费用最小时半径r的值.

　（例1）

【归纳提升】

常见应用问题与数学模型及其处理:

1.优化问题:

实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.

2.预测问题:

经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.

3.最（极）值问题:

工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值.

4.等量关系问题:

建立“方程模型”解决.

5.测量问题:

可设计成“图形模型”利用几何知识解决.

总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问题,并注意解模后的验证.

考点1　函数与不等式模型的应用题

【例1】　【分析】根据题设条件分别求出g（x）和h（x）,然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.

【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件,所以g（x）==.

单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h（x）==.

（1）g（x）-h（x）=-=,

因为1≤x<214,x∈N,

所以:

①当1≤x≤137时,g（x）>h（x）;

②当138≤x≤213时,g（x）

即当x≤137时,加工A型这一组所用的时间多;当x≥138时,加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务,故完成总任务时间是:

f（x）=

（2）要使任务完成最快,|g（x）-h（x）|应最小,令g（x）-h（x）=0,得x=137.

因为x∈N,所以需比较x=137和138时,|g（x）-h（x）|的大小.

经比较,加工A型零件有137人,加工B型零件有77人时,完成任务的用时最少.

另外可以这样考虑,要使任务完成最快,即求函数f（x）的最小值.

当1≤x≤137,x∈N时,f（x）=,显然x=137时,f（x）最小.当138≤x≤213,x∈N时,f（x）=,显然x=138时,f（x）最小,比较x=137和x=138时f（x）的大小,可知当x=137时,f（x）最小.

【练习】　【解答】

（1）由题意知S=2bx+2ay+4xy+ab（x,y>0）.

（2）因为x,y>0,所以2bx+2ay≥2,当且仅当bx=ay时,等号成立.

从而S≥4+4xy+ab,（*）

令t=,则t>0,

上述不等式（*）可化为4t2+4t+ab-S≤0,

解得≤t≤,

因为t>0,所以0

从而xy≤.

由

解得（负根舍去）.

所以当x=,y=时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为ab+S-2.

考点2　函数与导数模型的应用题

【例1】　【解答】

（1）由f（x）=1-ax2（a>0）可得f'（x）=-2ax,P（t,f（t））.

直线MN的斜率k=f'（t）=-2at,则直线MN的方程为y-1+at2=-2at（x-t）,

令y=0,可得xM=t+,可得M;

令x=0,可得yM=1+at2,可得N（0,1+at2）,

所以S（t）=S△OMN=×（1+at2）×=.

（2）当t=时,S（t）取得最小值,

S'（t）==,

由题意知S'=0,即12a2×-4a=0,解得a=,

此时S（t）的最小值为S===.

【练习】　【分析】构建函数模型,然后利用导数研究函数的单调性和最值.

【解答】

（1）潜入水底用时单位时间,用氧量为×cv2=30cv;水底作业时用氧量为5×0.4=2;

返回水面用时单位时间,用氧量为×0.2=.

所以y=30cv+2+（v>0）.

（2）y=30cv+2+≥2+2=2+12.

当且仅当30cv=,即v=时取等号.

当≤5,即c≥时,v=时,y的最小值为2+12.

当>5,即c<时,y'=30c-=<0,

因此函数y=30cv+2+在（0,5]上为减函数,

所以当v=5时,y的最小值为150c+.

综上,当c≥时,下潜速度为时,用氧量最小为2+12;

当0

考点3　三角形与三角函数模型

【例1】　【分析】用a,θ表示S1和S2,a固定时是关于θ的函数,然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.

【解答】

（1）S1=asinθ·acosθ=a2sin2θ,设正方形边长为x,则BQ=,RC=xtanθ,

所以+xtanθ+x=a,

所以x==,

所以S2==.

（2）当a固定,θ变化时,

=,

令sin2θ=t,

则=（0

【练习】　【解答】

（1）由题意可知,点M为的中点,所以OM⊥AD.

设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsinθ,OF=Rcosθ.

AB=OF-AD=Rcosθ-Rsinθ.

所以S=AB·BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R2（2sinθcosθ-2sin2θ）=R2（sin2θ-1+cos2θ）=R2sin-R2,θ∈.

（2）因为θ∈,则2θ+∈,

所以当2θ+=,即θ=时,S有最大值,

Smax=（-1）R2.

故当θ=时,矩形ABCD的面积S有最大值（-1）R2.

考点4　解析几何模型

【例1】　【分析】建立平面直线坐标系,求出圆心到直线的距离d,通过弦心距和半径作比较进行判断.

【解答】如图,以台风中心为原点建立平面直角坐标系xOy.

（1）由图可知轮船在直线l:

x+y-80=0上移动,原点到直线l的距离d=40.

（例5）

所以0