届高考数学江苏专用应用题中的瓶颈题讲解.docx

1、届高考数学江苏专用应用题中的瓶颈题讲解第3讲应用问题中的“瓶颈题”数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:分类解密专题突破函数与不等式模型的应用题例1某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间

2、相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).(1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;(2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少?练习如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.(1) 用x,y,a,b表示S;(2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大

3、,求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,y的值.(练习)函数与导数模型的应用题例1某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t).(1) 将OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);(2) 若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.(例1)练习在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:下潜时,平均速度为v(米/单位时间

4、),单位时间内用氧量为cv2(c为正常数);在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;返回水面时,平均速度为(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1) 求出y关于v的函数解析式;(2) 设00)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45且不改变航线,假设台风中心不移动.(1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?(2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?练习(2014江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线

5、段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tanBCO=.(1) 求新桥BC的长;(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?(练习)数列模型例1商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1) 若公寓收费标准定为

6、每名学生每年800元,问:到哪一年可还清建行全部贷款?(2) 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)练习某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f(x)=(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=,例如,g(3)=.(1) 求g(10);(2) 求第x个月的当月利润率;(3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利

7、润率最大?并求出该月的当月利润率.立体几何体模型例1某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为 m3,且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;(2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.(例1)【归纳提升】常见应用问题与数学模型及其处理:1. 优化问题:实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问

8、题解决.2. 预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.3. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值.4. 等量关系问题:建立“方程模型”解决.5. 测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决.总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问题,并注意解模后的验证.考点1函数与不等式模型的应用题【例1】【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5kx个A型零

9、件.总共需要15003个A型零件,所以g(x)=.单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)=.(1) g(x)-h(x)=-=,因为1xh(x);当138x213时,g(x)0).(2) 因为x,y0,所以2bx+2ay2,当且仅当bx=ay时,等号成立.从而S4+4xy+ab,(*)令t=,则t0,上述不等式(*)可化为4t2+4t+ab-S0,解得t,因为t0,所以00)可得f(x)=-2ax,P(t,f(t).直线MN的斜率k=f(t)=-2at,则直线MN的方程为y-1+at2=-2at(x-t),令y=0,可得xM=t+,可得M;令x=0,可得yM=1+at2,可得N(0,1

10、+at2),所以S(t)=SOMN=(1+at2)=.(2) 当t=时,S(t)取得最小值,S(t)=,由题意知S=0,即12a2-4a=0,解得a=,此时S(t)的最小值为S=.【练习】【分析】构建函数模型,然后利用导数研究函数的单调性和最值.【解答】(1) 潜入水底用时单位时间,用氧量为cv2=30cv;水底作业时用氧量为50.4=2;返回水面用时单位时间,用氧量为0.2=.所以y=30cv+2+(v0).(2) y=30cv+2+2+2=2+12.当且仅当30cv=,即v=时取等号.当5,即c时,v=时,y的最小值为2+12.当5,即c时,y=30c-=0,因此函数y=30cv+2+在(

11、0,5上为减函数,所以当v=5时,y的最小值为150c+.综上,当c时,下潜速度为时,用氧量最小为2+12;当0c时,下潜速度为5时,用氧量最小为150c+.考点3三角形与三角函数模型【例1】【分析】用a,表示S1和S2,a固定时是关于的函数,然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1) S1=asinacos=a2sin2,设正方形边长为x,则BQ=,RC=xtan,所以+xtan+x=a,所以x=,所以S2=.(2) 当a固定,变化时,=,令sin2=t,则=(0t1),利用单调性求得t=1时,=.【练习】【解答】(1) 由题意可知,点M为的中点,所以OMAD.设O

12、M与BC的交点为F,则BC=2Rsin,OF=Rcos.AB=OF-AD=Rcos-Rsin.所以S=ABBC=2Rsin(Rcos-Rsin)=R2(2sincos-2sin2)=R2(sin2-1+cos2)=R2sin-R2,.(2) 因为,则2+,所以当2+=,即=时,S有最大值,Smax=(-1)R2.故当=时,矩形ABCD的面积S有最大值(-1)R2.考点4解析几何模型【例1】【分析】建立平面直线坐标系,求出圆心到直线的距离d,通过弦心距和半径作比较进行判断.【解答】如图,以台风中心为原点建立平面直角坐标系xOy.(1) 由图可知轮船在直线l:x+y-80=0上移动,原点到直线l的距离d=40.(例5)所以0r