福建省福州市福清三中学年高二上学期期末数Word格式.docx

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D．2

4．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（　　）

A．e2B．eC．

D．ln2

5．若函数f（x）=x3﹣

x2+1，则（　　）

A．最大值为1，最小值为

B．最大值为1，无最小值

C．最小值为

，无最大值D．既无最大值也无最小值

6．过椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°

，则椭圆的离心率为（　　）

C．

D．

7．函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（　　）

A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）D．（﹣3，1）

8．设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　）

A．a＜﹣1B．a＞﹣1C．

9．函数y=

的图象大致是（　　）

10．过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°

的直线，交抛物线于A，B两点（A在x轴上方），那么

=（　　）

C．3D．2

11．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），下列结论中错误的是（　　）

A．∃x0∈R，使得f（x0）=0

B．函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形

C．若x0是函数f（x）的极值点，则f'

（x0）=0

D．若x0是函数f（x）的极小值点，则函数f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减

12．已知曲线Γ：

y=ex和直线l：

y=kx，若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上，则k的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣e]C．（﹣e，0）D．[﹣e，0）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．抛物线y2=﹣x的准线方程是　　．

14．抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=　　．

15．函数y=

在x=m处取到极大值，则m=　　．

16．已知函数f（x）=lnx+（x﹣a）2（a∈R）在区间[

，2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是　　．

三、解答题：

本大题共6小题，17题10分，其它每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知抛物线y=x2在点A（1，1）处的切线为l．

（1）求切线l的方程；

（2）若切线l经过椭圆

=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程．

18．设函数f（x）=2x3﹣12x+c的图象经过原点．

（1）求c的值及函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．

19．在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查．调查结果：

接受调查总人数110人，其中男、女各55人；

受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．

（Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列2×

2列联表；

看电视

运动

合计

女

男

（Ⅱ）已知P（K2≥3.841）=0.05．能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？

（注：

K2=

，（其中n=a+b+c+d为样本容量））

20．已知椭圆G：

+

=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？

若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

21．已知函数f（x）=ex﹣ax+1，其中a为实常数，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；

（3）已知a＞0，并设函数f（x）的最小值为g（a），求证：

g（a）≤2．

22．已知函数f（x）=lnx+ax2，其中a为实常数．

（1）讨论函数f（x）的极值点个数；

（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】由题意可得a2=1，b2=m，求出a，b的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值．

【解答】解：

∵椭圆

的焦点在x轴上，

∴a2=1，b2=m，则a=1，b=

，

又长轴长是短轴长的两倍，

∴2=

，即m=

．

故选：

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．

∵双曲线方程为

，则渐近线方程为

，即

故选A．

【分析】利用双曲线

=1，求出c，即可求出双曲线

=1的焦距．

双曲线

=1中a=2

，b=2，

∴c=4，

∴焦距是2c=8．

【考点】导数的乘法与除法法则．

【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'

（x0）=2解方程即可．

∵f（x）=xlnx

∴

∵f′（x0）=2

∴lnx0+1=2

∴x0=e，

故选B．

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值，即可得到结论．

∵f（x）=x3﹣

x2+1，

∴f′（x）=3x2﹣3x=3x（x﹣1），

则由f′（x）=3x（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜0，此时函数单调递增，

由f′（x）=3x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，

即函数在x=0处取得极大值，在x=1处取得极小值，无最大值和最小值．

D．

【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°

推断出

=

整理得

e2+2e﹣

=0，进而求得椭圆的离心率e．

由题意知点P的坐标为（﹣c，

）或（﹣c，﹣

），

∵∠F1PF2=60°

即2ac=

b2=

（a2﹣c2）．

=0，

∴e=

或e=﹣

（舍去）．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】求导函数，令其大于0，解不等式，即可得到函数的单调递增区间．

求导函数得：

y′=（﹣x2﹣2x+3）ex

令y′=（﹣x2﹣2x+3）ex＞0，可得x2+2x﹣3＜0

∴﹣3＜x＜1

∴函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（﹣3，1）

故选D．

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．

∵y=ex+ax，

∴y'

=ex+a．

由题意知ex+a=0有大于0的实根，令y1=ex，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，

结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，

故选A．

【考点】函数的图象．

【分析】根据函数的变化趋势即可判断答案．

当x→﹣∞时，3x﹣1→﹣1，故f（x）→+∞，

当x→+∞时，3x﹣1→+∞，故f（x）→0，

又因为函数的定义域为x≠0，

综上可以判断C正确，

C．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A、B的坐标，然后求比值

即可．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y2=4x中p=2．

|AB|=x1+x2+p=

∴x1+x2=

又x1x2=

=1，可得x1=3，x2=

则

=3，

【分析】A．不妨设a＞0，则x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；

x→+∞时，f（x）→+∞，即可判断出结论．

B．f′（x）=3ax2+2bx+c，f″（x）=6ax+2b，由于f″（x）=6a×

（﹣

）+2b=0，可得函数f（x）关于点

对称，即可判断出结论．

C．利用函数极值点的必要条件即可判断出结论．

D．若a＞0，f′（x）=3ax2+2bx+c，则二次函数y=3ax2+2bx+c的图象开口向上．若x1，x0是函数f（x）的极值点，且x0是函数f（x）的极小值点，则x1＜x0，利用导数即可判断出其单调区间．

A．不妨设a＞0，则x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；

x→+∞时，f（x）→+∞，因此函数∃x0∈R，使得f（x0）=0，正确．

B．∵f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f″（x）=6ax+2b，∵f″（x）=6a×

）+2b=0，∴函数f（x）关于点

对称，正确．

C．若x0是函数f