高中数学 41数学归纳法练习 新人教A版选修45文档格式.docx
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归纳猜想 严格证明
思考 已知数列
,…,
,….Sn为其前n项和,求S1,S2,S3,S4,推测Sn公式.
解析:
计算得S1=
,S2=
,S3=
,S4=
,推测Sn=
(n∈N*).
1.用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成( )
A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)
B.6k(k+1)(2k+1)
C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2
D.以上都不对
C
2.下列四个判断中,正确的是( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时恒为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时恒为1+k
C.式子
+
+…+
(n∈N*)当n=1时恒为1+
D.设f(n)=
(n∈N*),则f(k+1)=f(k)+
C
3.如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有( )
A.正整数n成立
B.正偶数n成立
C.正奇数n成立
D.大于1的自然数n成立
B
4.用数学归纳法证明:
设f(n)=1+
,则n+f
(1)+f
(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈N*,且n≥2)第一步要证明的式子是____________.
2+f
(1)=2f
(2)
5.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证( )
A.当n=1时成立
B.当n=2时成立
C.当n=3时成立
D.当n=4时成立
多边形至少有三条边.
答案:
C
6.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+( )
A.
B.πC.
πD.2π
B
7.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=
,a≠1,n∈N*”,在验证n=1成立时,左边计算所得项是( )
A.1B.1+a
C.1+a+a2D.1+a+a2+a3
8.某个命题与正整数n有关,若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立
B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立
D.当n=4时该命题成立
9.已知f(n)=
,则f(k+1)等于( )
A.f(k)+
B.f(k)+
C.f(k)+
-
D.f(k)+
f(k)=
,f(k+1)=
,∴f(k+1)=f(k)+
.
10.用数学归纳法证明:
对任何正整数n有:
=
证明:
(1)当n=1时,左边=
,右边=
,故左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即
那么当n=k+1时,利用归纳假设有:
所以当n=k+1时等式也成立.
综合
(1)、
(2)知,对任何正整数n,等式成立.
11.设f(n)=
(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于( )
B.
C.
D.
∵f(n)=
,f(n+1)=
,
∴f(n+1)-f(n)=
D
12.观察下列等式:
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
…
照此规律,第n个等式可为
________________________________.
12-22+32-…+(-1)n-1n2=
n(n+1)
13.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为
n2+
n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数 N(n,3)=
n
正方形数 N(n,4)=n2
五边形数 N(n,5)=
n2-
六边形数 N(n,6)=2n2-n
……
可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=______.
先根据给出的几个结论,推测出当k为偶数时,N(n,k)的表达式,然后再将n=10,k=24代入,计算N(10,24)的值.
由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,…,可以推测:
当k为偶数时,N(n,k)=
n,于是N(n,24)=11n2-10n,故N(10,24)=11×
102-10×
10=1000.
1000
14.已知数列{an}与{bn}的通项公式分别是an=3n-1、bn=2n,n∈N*,记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,用数学归纳法证明:
Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).
(1)当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立;
(2)假设当n=k时等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk,则当n=k+1时有:
Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+2(akb1+ak-1b2+…+a1bk)=ak+1b1+2Tk=ak+1b1+2(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12.
即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1,因此n=k+1时等式也成立.
由
(1)和
(2),可知对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立.
1.学习完全归纳法与不完全归纳法,要注意他们的区别与联系:
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法,由完全归纳法得出的结论是正确的,由不完全归纳法得出的结论有可能是错误的,但是不完全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的一种重要手段.
2.数学中有很多涉及正整数的命题,由于正整数有无穷多个,因而不可能对所有的正整数一一加以验证.如果只对部分正整数加以验证,结论又不一定正确.数学归纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小正整数n0,如果当n=n0时命题成立(这是基础,是出发点).再假设当n=k(k≥n0,k为正整数)时命题正确,根据这个假设,如果能推出n=k+1时命题也成立(这是递推的依据),那么就可以推出对于所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都正确了.
3.用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.在这一步中,只需验证使命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立.
(2)证明了第二步,就获得了递推的依据.第二步中,在推证之前,命题对n=k是否成立是不清楚的,因此用“假设”两字,这一步的实质是证明命题对n=k的正确性可以传递到n=k+1的情况,有了这一步,再由第一步知命题对n0成立,就可以知道命题对于n0+1也成立,进而再由第二步可知命题对于n=(n0+1)+1=n0+2也成立,…,这样递推下去,可以知道命题对于一切不小于n0的正整数都成立.在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定义加以证明.
完成一、二两步后,最后要对命题做一个总的结论.
2019-2020年高中数学4.1流程图练习新人教A版选修1-2
1.流程图的概念.
由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图.流程图常用来表示一些动态过程,通常会有一个“起点”,一个或多个“终点”,流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤.
2.常用的流程图.
(1)程序框图是流程图的一种,是算法步骤的直观图示.算法的输入、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素,基本要素之间的关系由流程线来建立.
(2)用于描述工业生产流程的流程图通常称为工序流程图.
(3)流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来画.在实际问题中,流程图通常用来描述一个过程性的活动,活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元,基本单元之间通过流程线产生联系.基本单元中的内容要根据需要确定,可以在基本单元中具体地说明,也可以为基本单元设置若干子单元.
1.以下给出对程序框图的几种说法:
①任何一个程序框图都必须有起止框;
②输入框只能放在开始框后,输出框只能放在结束框前;
③判断框是唯一具有超过一个退出点的符号;
④对于一个程序来说,判断框内的条件表达方法是唯一的.其中正确的个数是(B)
A.1B.2
C.3D.4
①③正确,②④不正确.故选B.
2.表示旅客搭乘火车的流程正确的是(C)
A.买票→候车→上车→检票
B.候车→买票→上车→检票
C.买票→候车→检票→上车
D.候车→买票→检票→上车
易知C正确.故选C.
3.数学证明常用方法之一的反证法,其操作流程为
第一步:
________________________________________________;
第二步:
_______________________________________________;
第三步:
所以假设不成立,原命题结论成立.
反证的步骤为:
假设命题结论不成立,即其反面成立;
运用假设及其他条件进行推理,得到矛盾;
假设命题结论不成立,即其反面成立 运用假设及其