高中数学 41数学归纳法练习 新人教A版选修45文档格式.docx
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归纳猜想 严格证明
思考 已知数列
，…，
，….Sn为其前n项和，求S1，S2，S3，S4，推测Sn公式．
解析：
计算得S1＝
，S2＝
，S3＝
，S4＝
，推测Sn＝
（n∈N*）．
1．用数学归纳法证明n（n＋1）（2n＋1）能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成（ ）
A．k（k＋1）（2k＋1）＋6（k＋1）
B．6k（k＋1）（2k＋1）
C．k（k＋1）（2k＋1）＋6（k＋1）2
D．以上都不对
C
2．下列四个判断中，正确的是（ ）
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn（n∈N*）当n＝1时恒为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1（n∈N*）当n＝1时恒为1＋k
C．式子
＋
＋…＋
（n∈N*）当n＝1时恒为1＋
D．设f（n）＝
（n∈N*），则f（k＋1）＝f（k）＋
C
3．如果命题P（n）对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，又若P（n）对n＝2成立，则P（n）对所有（ ）
A．正整数n成立
B．正偶数n成立
C．正奇数n成立
D．大于1的自然数n成立
B
4．用数学归纳法证明：
设f（n）＝1＋
，则n＋f
（1）＋f
（2）＋…＋f（n－1）＝nf（n）（n∈N*，且n≥2）第一步要证明的式子是____________．
2＋f
（1）＝2f
（2）
5．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）
A．当n＝1时成立
B．当n＝2时成立
C．当n＝3时成立
D．当n＝4时成立
多边形至少有三条边．
答案：
C
6．记凸k边形的内角和为f（k），则凸k＋1边形的内角和f（k＋1）＝f（k）＋（ ）
A.
B．πC.
πD．2π
B
7．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝
，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1成立时，左边计算所得项是（ ）
A．1B．1＋a
C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3
8．某个命题与正整数n有关，若n＝k（k∈N*）时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
9．已知f（n）＝
，则f（k＋1）等于（ ）
A．f（k）＋
B．f（k）＋
C．f（k）＋
－
D．f（k）＋
f（k）＝
，f（k＋1）＝
，∴f（k＋1）＝f（k）＋
.
10．用数学归纳法证明：
对任何正整数n有：
＝
证明：
（1）当n＝1时，左边＝
，右边＝
，故左边＝右边，等式成立．
（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时等式成立，即
那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有：
所以当n＝k＋1时等式也成立．
综合
（1）、
（2）知，对任何正整数n，等式成立．
11．设f（n）＝
（n∈N＋），那么f（n＋1）－f（n）等于（ ）
B.
C.
D.
∵f（n）＝
，f（n＋1）＝
，
∴f（n＋1）－f（n）＝
D
12．观察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
…
照此规律，第n个等式可为
________________________________．
12－22＋32－…＋（－1）n－1n2＝
n（n＋1）
13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为
n2＋
n.记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N（n，3）＝
n
正方形数 N（n，4）＝n2
五边形数 N（n，5）＝
n2－
六边形数 N（n，6）＝2n2－n
……
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）＝______．
先根据给出的几个结论，推测出当k为偶数时，N（n，k）的表达式，然后再将n＝10，k＝24代入，计算N（10，24）的值．
由N（n，4）＝n2，N（n，6）＝2n2－n，…，可以推测：
当k为偶数时，N（n，k）＝
n，于是N（n，24）＝11n2－10n，故N（10，24）＝11×
102－10×
10＝1000.
1000
14．已知数列{an}与{bn}的通项公式分别是an＝3n－1、bn＝2n，n∈N*，记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，用数学归纳法证明：
Tn＋12＝－2an＋10bn（n∈N*）．
（1）当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；
（2）假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有：
Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1＝ak＋1b1＋2（akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk）＝ak＋1b1＋2Tk＝ak＋1b1＋2（－2ak＋10bk－12）＝2ak＋1－4（ak＋1－3）＋10bk＋1－24＝－2ak＋1＋10bk＋1－12.
即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．
由
（1）和
（2），可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
1．学习完全归纳法与不完全归纳法，要注意他们的区别与联系：
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，由完全归纳法得出的结论是正确的，由不完全归纳法得出的结论有可能是错误的，但是不完全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的一种重要手段．
2．数学中有很多涉及正整数的命题，由于正整数有无穷多个，因而不可能对所有的正整数一一加以验证．如果只对部分正整数加以验证，结论又不一定正确．数学归纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小正整数n0，如果当n＝n0时命题成立（这是基础，是出发点）．再假设当n＝k（k≥n0，k为正整数）时命题正确，根据这个假设，如果能推出n＝k＋1时命题也成立（这是递推的依据），那么就可以推出对于所有不小于n0的正整数n0＋1，n0＋2，…，命题都正确了．
3．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证使命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了递推的依据．第二步中，在推证之前，命题对n＝k是否成立是不清楚的，因此用“假设”两字，这一步的实质是证明命题对n＝k的正确性可以传递到n＝k＋1的情况，有了这一步，再由第一步知命题对n0成立，就可以知道命题对于n0＋1也成立，进而再由第二步可知命题对于n＝（n0＋1）＋1＝n0＋2也成立，…，这样递推下去，可以知道命题对于一切不小于n0的正整数都成立．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k＋1时的情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定义加以证明．
完成一、二两步后，最后要对命题做一个总的结论．
2019-2020年高中数学4.1流程图练习新人教A版选修1-2
1．流程图的概念．
由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图．流程图常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤．
2．常用的流程图．
（1）程序框图是流程图的一种，是算法步骤的直观图示．算法的输入、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建立．
（2）用于描述工业生产流程的流程图通常称为工序流程图．
（3）流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来画．在实际问题中，流程图通常用来描述一个过程性的活动，活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元，基本单元之间通过流程线产生联系．基本单元中的内容要根据需要确定，可以在基本单元中具体地说明，也可以为基本单元设置若干子单元．
1．以下给出对程序框图的几种说法：
①任何一个程序框图都必须有起止框；
②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；
③判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；
④对于一个程序来说，判断框内的条件表达方法是唯一的．其中正确的个数是（B）
A．1B．2
C．3D．4
①③正确，②④不正确．故选B.
2．表示旅客搭乘火车的流程正确的是（C）
A．买票→候车→上车→检票
B．候车→买票→上车→检票
C．买票→候车→检票→上车
D．候车→买票→检票→上车
易知C正确．故选C.
3．数学证明常用方法之一的反证法，其操作流程为
第一步：
________________________________________________；
第二步：
_______________________________________________；
第三步：
所以假设不成立，原命题结论成立．
反证的步骤为：
假设命题结论不成立，即其反面成立；
运用假设及其他条件进行推理，得到矛盾；
假设命题结论不成立，即其反面成立 运用假设及其
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