二次型化为标准形的几种方法Word文档格式.docx

二次型化为标准形的几种方法Word文档格式.docx

《二次型化为标准形的几种方法Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次型化为标准形的几种方法Word文档格式.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

摘要：

二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。

这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：

正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。

正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。

其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。

关键词：

正交变换法；

配方法；

初等变换法；

雅可比方法；

偏导数法

SeveralMethodsofChangingtheQuadraticintotheStandard

Abstract：

Quadraticistheimportantcontentshouldstudyalgebra,inourstudiesofquadraticproblem,forconvenience,willusuallybequadraticintostandardform.Thisisbothakeyisadifficulty,thispaperintroducessomeHuaErtimesforthestandardformoforthogonaltransformmethod,method:

matchmethod,elementarytransformation,jacobianmethod,partialderivativemethod.Thetextintroducesseveralmethodsdefinedandconcretestep,simultaneouslygivesappropriateexamplestoillustrate.Amongthem,thepartialderivativemethodandmatchmethodandsimilar,buttheformerhasthefixedsteps,andmatchmethodneedtoobservedtoformula.

Keywords:

orthogonaltransformmethod;

matchmethod;

elementarytransformation;

jacobianmethod;

partialderivativemethod

1引言

二次型是代数学中的一个重要问题，它在数学中占有重要地位，在实际生活中也有着广泛的应用。

其中二次型的一个很重要的问题就是将二次型化为标准型问题。

针对这一问题，本文将逐一列举五种化二次型为标准型的方法，分别是：

正交变换法、配方法、初等变换法、雅克比方法、偏导数法。

并且将具体给出每种方法的特点及适用范围，并给出例题。

2关于二次型定义

定义2.1.1设是数域上的向量空间，如果中任意一对有序向量都按照某一法则对应于内唯一确定的一个数，记作，且

（）对任意，，，，，有

=+；

（）对任意，，，，，有

则称是上的一个双线性函数.

定义2.1.2设是数域上的向量空间，是上的一个双线性函数.如果中任意一对有序向量有=，则称是上的一个对称双线性函数.

定义2.1.3设V是数域K上的线性空间，是上双线性函数，当时，V上函数称为对应的二次型函数.

给定V上一组基，设的度量矩阵为，对V中任一向量有.

（1）

这式中的系数.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为，及,只有，.

所以其所对的二次齐次函数是相同的，得到很多双线性函数可以对应于相同二次齐次函数，现要求为对称矩阵，就相当于使双线性函数对称，则一个对称双线性函数只与一个二次齐次函数对应.从

（1）我们可以得到：

一个二次齐次函数的坐标表达式其实和二次型等价，又因为它与对称矩阵相对应，所以这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵.

==.

定义2.1.4设是一个数域，个文字的二次齐次多项式

=

.

称为数域上的元二次型，简称二次型.当实数时，称为实二次型.当复数时，称为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即

=.

称为标准型.

总之，数域上的二次型就是内一个二次型函数在基下的解析表达式.即内取定一组基之后，就使内全体二次型函数所成集合和数域上元二次型所成的集合之间建立起一一对应关系.

由于数域上二次型与二次型函数一一对应，因此关于对称双线性函数所得到的结果可以直接用到二次型上来.的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数，而的第行第列元素是交叉项的系数的一半，再取=即得到对称矩阵.于是这个二次型就可以用矩阵形式表示为=.

例1写出二次型所对应的矩阵？

解

定义2.3.1对称矩阵分别施行以下三种变换，统称为矩阵的初等保号变换：

（）交换的某两行（列）；

（）用一个正数乘的某一行（列）；

（）用一个正数乘A的某一行（列）加到另一行（列）；

易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性.

引理1非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定.

证明设=是负定二次型，并且（）是非退化线性替换.

=，，

并且对任意，，

结果，即是负定二次型.

反之设是负定：

其中

于是得到是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性.同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。

例2判断正定二次型、在非退化线性替换能否改变二次型的正定性？

解：

故作非退化线性替换，便得

因此上面例子可以看出二次型在非退化线性替换下还是正定二次型.

从此推出：

实二次型的“负定性，正定性，半负定性，半正定性以及不定性”是非退化线性变换下的一个不变性质.

3二次型化为标准型的方法

3.1正交变换法

根据二次型的性质，则必可以通过一个适当变换将二次型化为只含有平方项的形式

定理1任意一个实二次型，都可以经过正交的线性替换变成平方和其中平方上的系数就是矩阵的本征多项式的全部的根。

下面讨论通过正交变换法化二次型为标准型的步骤。

将实二次型表示成矩阵形式并写出矩阵。

求出矩阵的所有本征值，可能会出现多重本征值，分别记它们的重数为

对于每个本征值所对应的本征向量，通过方程，能求出和对应的个线性无关的本征向量。

同理，对其他的本征值也是采用此方法求出与之对应的本征向量。

因为，所以一共能出个本征向量。

将所求出的个本征向量先后施行正交化，单位化得到，记为

作正交变换,则得二次型的标准形

例1用上面所述的方法化下面的二次型为标准形。

解：

（1）首先写出原二次型的矩阵

的特征多项式

从而得的特征值为,,

（2）求特征向量，将带入中，得到方程

解此方程可得出基础解系，同样地，分别把，

带入中，解方程能够得出与，对应的基础

解系依次为，

（3）将所求出的特征向量正交化，方法如下：

令

（4）将已正交的向量组单位化，如下：

令

于是能够得到

，，

所以

于是所求正交变换为

原二次型化为

3.2.配方法

配方法实质是将二次型中不是平方项的各项通过配平方式全部配成平方项，然后再通过非退化线性替换，将二次型化为标准型，这种方法在化二次型为标准型的题目中是一种常见方法。

定理2数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式。

下面讨论用配方法化二次型为标准型的方法。

使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形：

当此二次型中含有平方项时，先将非平方项找出来，然后配方，剩余项再次配方，一直到所以项均为平方项，最后利用非退化线性替换将二次型化为标准型。

如果所给二次型中不含有平方项，但是,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换

代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述中的方法进行配方。

例2用上述所给出的方法化二次型为标准形，写出所用的变换矩阵。

因为此二次型中含有平方项，因此用第一种办法。

此过程为：

于是作非退化的线性替换：

即

于是就得到

所用的变换矩阵为

且有

3.3.初等变换法

将二次型一般型式化为标准型的问题实质是一个通过有限多个可逆的线性替换将二次型中的所有元逐渐配方的问题。

将这个过程通过矩阵形式表示，就是第三中方法：

初等变化法。

这种方法将二次型的矩阵通过有限次初等行、列变换，将二次型化为与其合同的对角矩阵。

定理3在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。

定理4对每个实对称矩阵，存在初等矩阵使得

根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘相当于对作一次初等行变换；

用初等矩阵右乘相当于对作一次初等列变换，再结合定理3知，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵相合。

下面我们讨论用初等变换法将二次型化为标准型的步骤

写出二次型的矩阵,让与构造矩阵

对进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与合同形式上简单的矩阵，直至将化成对角矩阵；

但是对只进行其中的列变换。

写出过程中所进行的一系列可逆线性变换化原二次型为

为理解方便，此过程可用图表示如下

例4：

用初等变换法化为标准型，并写出其非退化线性变换。

由题可知二次型的矩阵为

所以可得：

化二次型为。

注：

此法与求逆矩阵的初等变换法很相似，要注意区别。

例5用上述方法将二次型

首先写出二次型的矩阵

然后构造出矩阵

从上过程可以看出,最后作可逆线性替换，则

3.4.雅可比方法

此种方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定标准形中各平方项的系数。

这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零。

下面我们讨论用雅克比方法将二次型化为标准型的步骤。

设二次型，，首先将二次型写成的形式，写出矩阵，如果的顺序主子式，即

，

都不等于零，那么二次型必可以化为如下的标准形：

例5用雅可比方法将二次型化为标准形。

首先写出二次型的矩阵，

然后分别求出的顺序主子式：

3.5.偏导数法

偏导数法与配方法类似，是通过函数与偏导数的关系来化二次型为标准型。

偏导数法相对于配方法优势在于其稳定性，因为配方法需要考察解题者的观察力，偏导数法则有着固定方式，所以对于解题方面更加稳定。

下面我们来讨论用偏导数法化二次型为标准型的方法。

与配方法类似，运用此方法时，同样也要将二次型分两种情形来讨论。

情形1如果二次型中含有的平方项，即至少有一个不为零时，不妨设不等于零，首先求出对的偏导数，则有，再根据，通过计算对比可以得出，此时中已不含，再求出对的偏导数，记，此时，（为中的系数，为中的系数），中已不含，照这种程序继续运算，最终可将二次型化为标准形。

情形2如果二次型中不含的平方项，即所有的全等于零，但是至少有一不等于零，不妨设不等于零，首先求出对的偏导数，对的偏导数，令，，此时，其中已不含的项。

考虑的形式，假如中存在的平方项，就利用上述情形1方法进行，假如中依旧不含的平方项，就继续按上述的步骤计算，最后将目标二