《非线性振动》试题解答解析Word格式文档下载.docx
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题2：
Determinethesingularpointsandtheirtypesforthesystem
Sketchthetrajectoriesandtheseparatricesinthestateplane.
题3：
Considerthemotionofasystemgovernedby
where.
（a）Showthat
where
（Notethatmustbepositiveforarealisticsystem.）
（b）Determinethestationarymotionsandtheirstabilityasafunctionofthemagnitudesandthesignsofand.
题4：
Considerthesystemgovernedby
（a）Whenisnearunity,showthatforsmallbutfiniteamplitudesoftheresponse
where
Hereisameasureoftheamplitudeoftheresponse.Obtainthefrequency-responseequation.Showthat.Howdoesthisvalueofcomparewiththatthecaseoflinearviscousdamping?
Plotversusand.Isthereajumpphenomenon?
（b）Whenisnearonethird（superharmonicresponse）,showthat
Obtainthefrequency-responseequation.Plotversusand.Isthereajumpphenomenon?
（c）Whenisnear3（subharmonicresponse）,showthat
题5：
ConsiderthesystemshowninFigure5whenthetension.
（a）Showthatthegoverningequationis
（b）Linearizethegoverningequationtoobtain
（c）Determinesecond-orderexpansionsforthetransitioncurvesseparatingstabilityfrominstabilitywhen
（d）If,determinetheinfluenceofthenonlineartermstofirstorderwhen.
注意：
所有的题目并没有给出完整的解答，以此作为提供一个解题思路，希望自己推导一遍（使用自己习惯的一套符号），修改和完善其中的不妥之处，然后补全没有给出解答的部分即可。
切勿雷同！
！
题一解：
这题关键算Jacobi积分，可以参考Nayfeh的《非线性振动》第二章，或用Mathematica软件计算。
本题有的地方推导过于简单，有些地方没有必要，希望稍作修改。
第三问的分析可能不太恰当！
（a）系统动能为
系统的势能为
代入Lagrange方程
这里取广义坐标为和，其中是金属丝旋转过的角度，有关系，由此得到系统的运动微分方程
（b）积分式得到
其中是积分常数。
把式代入式并整理得到
（c）下面来求出描述相平面上的运动方程。
设
从方程中消去，我们得到
此式可以改写为
方程积分有
式中是常数。
方程表明，此系统的不是一个常数。
积分称为Jacobi积分。
改写可以得到
并由此可以得出
注意到，所以，当时取等号。
式右边分子必须半正定，即
解得
因此运动是有界的，它用围绕原点的一些闭轨线来表示，而原点是一个中心。
（d）编程的方法课上老师已经交给大家了，自己编写一小段程序即可。
下面的程序仅为示例，不是最终结果。
勿用此程序画的图。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%题一：
画轨线图%%%%%画一条曲线，先确定参数x范围
clearall;
clc;
p=1.0;
g=32.2;
h=1000.0;
H=12.0;
dt=0.0001;
x0=0.5;
v0=0.5;
II=6740;
X（1:
II）=0.0;
V（1:
X
（1）=x0;
V
（1）=v0;
fori=2:
II
x1=x0+v0*dt;
v1=v0-（（2*g*p-H/（x1^4））*x1+4*p^2*x1*v0^2）/（1+4*p^2*x1^2）*dt;
x0=x1;
v0=v1;
X（i）=x0;
V（i）=v0;
end
figure;
plot（X,V,'
r'
）;
holdon;
on;
题二解：
因为
所以系统的奇点满足
由此解得奇点为
（1）对原方程在奇点附近线性化，得
系统矩阵的特征方程为
特征值为
由于和异号，所以奇点为鞍点，它是一个不稳定奇点。
（2）对原方程在奇点附近线性化，
（3）对原方程在奇点附近线性化，
（4）对原方程在奇点附近线性化，
（2）、（3）和（4）方法同
（1），此处略。
这里只提供一个例子，修改初值会得到不同的曲线，需画30~40条线可以反映出题目的要求。
下面仍然是举例说明，例子中只画出了其中两条相轨线。
%%%题二画相轨迹图%%%
x0=1.0001;
y0=2.00;
dt=0.001;
II=2350;
II）=0;
Y（1:
Y
（1）=y0;
II;
x1=x0+（x0^2+y0^2-5.0）*dt;
y1=y0+（x0*y0-2.0）*dt;
y0=y1;
Y（i）=y0;
plot（X,Y,'
）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x0=0.9999;
II=10000;
题三解：
说明：
（b）小题中线性化可能存在问题，因为按照本解答的结果在后面做稳定性分析时，十分复杂。
在奇点附近和奇点附近线性化时可能没有中括号中的第三项？
其中
（a）使用多尺度方法求解。
设方程的解为
将此代入方程，令的同次幂系数相等，得
方程的解为
其中现在还是任意的。
将代入方程，得
可知为的周期函数，将其展开为Fourier级数，有
为了从方程中消去永久项，必须有
上式是关于的自洽微分方程，因此，可以按解出。
求方程的一阶近似解，那么只是的函数。
于是，可令
将代入式，得
分离实部和虚部，得
因为，所以
由此得到
注意到和是对，因此它们对的导数为
那么，方程的一阶近似解为
（b）方程的一阶近似解为，由于，所以为常值，关于的方程的奇点为（注意到）
令，可得到三个奇点附近的线性化方程分别为
奇点附近
（1）奇点的稳定条件为，但此时稳态常值振幅为0，存在振幅为0的稳定极限环。
（2）奇点的稳定条件为，参考课件
稳定性分析参考可见上的相关内容（略）。
题四解：
本题给出了（a）（b）两问的推导过程，（c）问的推导类似于（b），实际上还要用到（b）的部分结果，因此相对简单得多，希望自己推导一遍。
所有的图都没有给出，需要自己画。
（a）首先将作幂级数展开，并保留到三阶项，则原方程变为
，接近1，为主共振。
为
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