函数的单调性与最值含例题详解Word文件下载.docx

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（2）图像法：

先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．

（3）换元法：

对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

（4）基本不等式法：

先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不

等式求出最值．

（5）导数法：

先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

提醒：

在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．

[练一练]

1．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（　　）

A．y＝B．y＝e－x

C．y＝－x2＋1D.y＝lg|x|

C

2．函数f（x）＝在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．

三、考点精练

考点一求函数的单调区间

1、函数的单调增区间是________．

要使有意义，则，即，而为

上的增函数，当时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是

.

2．函数y＝x－|1－x|的单调增区间为________．

y＝x－|1－x|＝

作出该函数的图像如图所示．

由图像可知，该函数的单调增区间是（－∞，1]．

（－∞，1]

3．设函数y＝f（x）在内有定义．对于给定的正数k，定义函数取函数，当k＝时，函数的单调递增区间为（　　）

A．（－∞，0）　　　　　　　B．（0，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（1，＋∞）

选C　由f（x）>

，得－1<

x<

1.

由f（x）≤，得x≤－1或x≥1.

所以，故的单调递增区间为（－∞，－1）．

[解题通法]

求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即：

（1）定义法；

（2）复合法；

（3）图像法；

（4）导数法．

考点二函数单调性的判断

[典例]　试讨论函数的单调性．

[解]　法一：

由解析式可知，函数的定义域是．在（0，＋∞）内任取，

，令，那么

因为，所以，.

故当时，，即函数在上单调递增．

当时，，即函数在上单调递减．

考虑到函数是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调

性，故在单调递增，在上单调递减．

综上，函数f（x）在和上单调递增，在和上单调

递减．

1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底．

2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．

[针对训练]

判断函数g（x）＝在（1，＋∞）上的单调性．

解：

任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1<

x2，

则，

由于1<

x1<

x2，所以x1－x2<

0，（x1－1）（x2－1）>

0，

因此g（x1）－g（x2）<

0，即g（x1）<

g（x2）．

故g（x）在（1，＋∞）上是增函数．

考点三函数单调性的应用

角度一　求函数的值域或最值

1．已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x>

0时，f（x）<

f

（1）＝－.

（1）求证：

f（x）在R上是减函数；

（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值．

（1）证明：

∵函数f（x）对于任意x，y∈R，

总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），∴令x＝y＝0，得f（0）＝0.

再令y＝－x，得f（－x）＝－f（x）．

在R上任取x1>

x2，则x1－x2>

f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2）．

又∵当x>

而x1－x2>

0，∴f（x1－x2）<

0，即f（x1）<

f（x2）．

因此f（x）在R上是减函数．

（2）∵f（x）在R上是减函数，∴f（x）在[－3,3]上也是减函数，

∴f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f（－3）与f（3）．

而f（3）＝3f

（1）＝－2，f（－3）＝－f（3）＝2.

∴f（x）在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

角度二　比较两个函数值或两个自变量的大小

2．已知函数f（x）＝log2x＋，若x1∈（1,2），x2∈（2，＋∞），则（　　）

A．f（x1）<

0，f（x2）<

0B．f（x1）<

0，f（x2）>

C．f（x1）>

0D．f（x1）>

选B　∵函数f（x）＝log2x＋在（1，＋∞）上为增函数，且f

（2）＝0，∴当x1∈（1,2）

时，f（x1）<

f

（2）＝0，当x2∈（2，＋∞）时，f（x2）>

f

（2）＝0，即f（x1）<

0.

角度三　解函数不等式

3．已知函数则不等式f（a2－4）>

f（3a）的解集为（　　）

A．（2,6）B．（－1,4）

C．（1,4）D．（－3,5）

选B　作出函数f（x）的图像，如图所示，则函数f（x）在R上是单调递减的．由f（a2－4）>

f（3a），可得a2－4<

3a，整理得a2－3a－4<

0，即（a＋1）（a－4）<

0，解得－1<

a<

4，所以不等式的解集为（－1,4）．

角度四　求参数的取值范围或值

4．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，2）　　　　　　　B.

C．（－∞，2]D.

选B　函数f（x）是R上的减函数，

于是有，由此解得a≤，

即实数a的取值范围是.

1．含“f”不等式的解法

首先根据函数的性质把不等式转化为f（g（x））>

f（h（x））的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式（组），此时要注意g（x）与h（x）的取值应在外层函数的定义域内．

2．比较函数值大小的思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．

巩固练习

一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．“a＝1”是“函数f（x）＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞）上为增函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　解析：

f（x）对称轴x＝a，当a≤1时f（x）在[1，＋∞）上单调递增．∴“a＝1”为

f（x）在[1，＋∞）上递增的充分不必要条件．

2．已知函数，若f（2－a2）>

f（a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）B．（－1,2）

C．（－2,1）D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

C　解析：

由题知f（x）在R上是增函数，由题得2－a2>

a，解得－2<

3．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f（x）＝min{2x，x＋2,10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为（　　）

A．4B．5C．6D．7

C　

解析：

由题意知函数f（x）是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三

个函数在同一坐标系之下的图象（如图中实线部分为f（x）的图象）可知A（4,6）为函数f（x）图

象的最高点．

4．若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－1,0）∪（0,1]

C．（0,1）D．（0,1]

D　解析:

f（x）在[a，＋∞）上是减函数，对于g（x），只有当a>

0时，它有两个减区

间为（－∞，－1）和（－1，＋∞），故只需区间[1,2]是f（x）和g（x）的减区间的子集即可，则a

的取值范围是0<

a≤1.

5．已知定义在R上的增函数f（x），满足f（－x）＋f（x）＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>

0，x2＋x3>

0，x3＋x1>

0，则f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（　　）

A．一定大于0B．一定小于0

C．等于0D．正负都有可能

A　解析：

∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f（－x）＝－f（x）．

又∵x1＋x2>

0，∴x1>

－x2，x2>

－x3，x3>

－x1.

又∵f（x1）>

f（－x2）＝－f（x2），f（x2）>

f（－x3）＝－f（x3），f（x3）>

f（－x1）＝－f（x1），

∴f（x1）＋f（x2）＋f（x3）>

－f（x2）－f（x3）－f（x1）．

0.]

二、填空题

6．函数y＝－（x－3）|x|的递增区间是________．

7．设f（x）是增函数，则下列结论一定正确的是________（填序号）．

①y＝[f（x）]2是增函数；

②y＝是减函数；

③y＝－f（x）是减函数；

④y＝|f（x）|是增函数．

[0，]

画图象如图所示：

可知递增区间为[0，]．

8．设0<

1，则函数y＝＋的最小值是________．

答案：

4

解析　y＝＋＝，当0<

1时，x（1－x）＝－（x－）2＋≤，∴y≥4.

三、解答题

9．已知函数f（x）＝a－.

函数y＝f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（2）若f（x）<

2x在（1，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝a－，

设0<

x2，则x1x2>

0，x2－x1>

f（x1）－f（x2）＝（a－）－（a－）＝－＝<

∴f（x1）<

f（x2），即f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

（2）解：

由题意a－<

2x在（1，＋∞）上恒成立，

设h（x）＝2x＋，则a<

h（x）在（1，＋∞）上恒成立．

∵h′（x）＝2－，x∈（1，＋∞），∴2－>

∴h（x）在（1，＋∞）上单调递增．故a≤h

（1），即a≤3.

∴a的取值范围为（－∞，3]．

10．已知f（x）＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

设f（x）的最小值为g（a），则只需g（a）≥0，

由题意知，f（x）的对称轴为－.

（1）当－<

－2，即a>

4时，g（a）＝f（－2）＝7－3a≥0，得a≤.

又a>

4，故此时的a不存在．

（2）当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g（a）＝f（－）＝3－a－≥0得－6≤a≤2.

又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.

（3）当－>

2，即a<

－4时，g（a）＝f

（2）＝7＋a≥0得a≥－7.

又a<

－4，故－7≤a<

－4.

综上得所求a的取值范围是－7≤a≤2.

11．已知f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且f

（1）＝1，若