四川省绵阳市届高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案Word下载.docx

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ABCD

4.函数f（x）=log2x+x的零点所在的一个区间是

A（0,）B（,）

C（,1）D（1,2）

5.函数f（x）=x-sinx的大致图象可能是

6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几何体F-AMCD内的概率为

ABCD

7.如图所示，在ΔABC中,D为BC的中点，BP丄DA,垂足为P,且BP=2,则=

A.2B.4

C.8D.16

8.已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M:

（x-1）2+y2=9相交于A,C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为

A.B.C.D.12

9.如果正整数M的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M为“幸运数”，则四位正整数中的“幸运数”共有

A.45个B.41个C.40个D.38个

10.已知函数f1（x）=x2-2|x|，f2（x）=x+2,设；

若a，b∈[-2,4],且当x1,x2时，恒成立，则b-a的最大值为

A.6B.4C.3D.2

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若复数z满足z.i=1+2i（i为虚数单位），则复数z=________

12.执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.

13.已知，则sinxcosx的值是______

14.已知直线y=k（x+1）（k>

0）与抛物线C:

y2=4x相交于A,B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若，则k=______

15.若数列{an}满足：

对任意的nN*，只有有限个正整数m使得am<

n成立，记这样的m的个数为,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{}，我们把它叫做数列{an}的“星数列”.已知对于任意的nN*,an=n2给出下列结论:

①数列{}*的“星数列”的前100之和为5050;

②（a5）*=2;

③数列的前n2项和为2n2-3n+1;

④{an}的“星数列”的“星数列”的通项公式为＝n2

以上结论正确的是_______.（请写出你认为正确的所有结论的序号）

三、解答題：

本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小題满分12分）

绵阳某汽车销售店以8万元A辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.

（I）若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？

（II）该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;

若分2期或3期付款，其利润为2.5万元；

若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表.

若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.

17.（本小题满分12分）

如图，已知平面PAB丄平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AD:

AB=3:

2,ΔPAB为等边三角形，F是线段BC上的点且满足CF=2BF.

（I）证明：

平面PAD丄平面PAB

（II）求直线DF与平面PAD的所成角的余弦值.

18.（本小题满分12分）

函数的部分图象如图示，将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y=f（x）的图象.

（I）求函数y=g（x）的解析式；

（II）在ΔABC中,它的三个内角满足，且其外接圆半径R=2,求ΔABC的面积的最大值.

19.（本小题满分12分）

已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8.

（I）求公差d的值;

（II）若a1=1，设Tn是数列的前n项和,求使不等式对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；

（III）设bn=/若对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，求a1的取值范围.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆C:

的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l过B点且与x轴垂直，如图.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若过点M（1,0）的直线与椭圆C相交于P,Q两点，如果（O为坐标原点），且满足，求实数t的取值范围.

21.（本小题满分14分）

已知函数.的定义域为（0,+）（e是自然对数的底数）.

（I）求函数y=f（x）在[m,m+2]（m>

0）的最小值;

（II）若x>

1时，函数y=f（x）的图象总在函数的图象的上方，求实数t的取值范围；

（III）求证：

绵阳市高2017级第三次诊断性考试

数学（理）参考解答及评分标准

本大题共12小题，每小题5分，共50分．

BDACABCDBC

本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．2-i12．1113．14．15．②④

三、解答题：

本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：

（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．

则由题意得年销售量为100-2x，

∴y=（10+0.1x-8）（100-2x）=-0.2x2+6x+200=-0.2（x-15）2+245．

故当x=15时，y取最大值．

此时售价为10+0.1×

15=11.5万元/辆．

∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分

（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．

∴P（X=0）=；

P（X=0．5）=；

P（X=1）=．

∴X的分布列为：

X

0．5

1

P

∴X的数学期望E（X）=×

0+×

0．5+×

1=．

∴X的数学期望为．………………………………………………………12分

17．解：

（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，

∵△PAB为等边三角形，

∴PO⊥AB．①

又平面PAB⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴PO⊥AD．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD⊥AB．②

∵AB与PO交于点O，

由①②得：

AD⊥平面PAB，

∴平面PAD⊥平面PAB．……………………………………………………6分

（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，AD=3，

∴F（1，1，0），A（-1，0，0），P（0，0，），D（-1，3，0）．

∴=（2，-2，0），=（1，0，），=（0，3，0），

可求得平面ADP的法向量n=（，0，-1），

若直线DF与平面PAD的所成角为θ，则

sinθ=|cos<

n，>

|=，

又由图形可知，θ为锐角，

∴cosθ=．

∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为．…………………………12分

18．解：

（Ⅰ）由图知：

，解得ω=2．

∵，

∴，即．

由，得．

∴．

∴，

即函数y=g（x）的解析式为g（x）=．………………………………6分

（Ⅱ）∵2sin2=，

∴1-cos（A+B）=1+sin（2C+），

∵cos（A+B）=-cosC，sin（2C+）=cos2C，

于是上式变为cosC=cos2C，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，

解得cosC=或1（舍），

∴C=．

由正弦定理得：

=2R=4，解得c=2，

于是由余弦定理得：

cosC==，

∴a2+b2=12-ab≥2ab，

∴ab≤4（当且仅当a=b时等号成立）．

∴S△ABC=absinC=ab≤．

∴△ABC的面积的最大值为．………………………………………12分

19．解：

（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，

∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2（2a1+d）+8，化简得：

4d=8，

解得d=2．……………………………………………………………………3分

（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，

∴=．

∴Tn=

=

=≥，

又∵不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，

∴≥，

化简得：

m2-5m-6≤0，解得：

-1≤m≤6．

∴m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分

（Ⅲ）由d=2，得an=a1+2n-2，

又∵=1+=，

又函数在和上分别是单调减函数，

且时y<

1；

时y>

1．

∵对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，

∴3<

<

4，

解得-6<

a1<

-4，即a1的取值范围为（-6，-4）．……………………………12分

20．解：

（Ⅰ）由题可得：

e=．

∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，

∴=b，解得b=1．

再由a2=b2+c2，可解得：

a=2．

∴椭圆的标准方程为．……………………………………………5分

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，=-4[，]，不成立；

∵直线的斜率不为0，设P（x1，y1）（y1>

0），Q（x2，y2）（y2<

0），

直线的方程可设为：

x=my+1，

代入椭圆方程得：

（m2+4）y2+2my-3=0

∴y1+y2=，y1y2=，

而x1x2=（my1+1）（my2+1）=，

∴=x1x2+y1y2=，

即≤≤，解得≤m2≤1；

∵；

；

又∵，

∴

，

∴当≤m2≤1时，解得≤t≤．…………………………………13分

21．解：

（Ⅰ）∵=，

∴当2x-1>

0，即x>

时，>

0，于是f 

（x）在上单调递增；

∴当2x-1<

0，即x<

时，<

0，于是 

（x）在上单调递减．

∵m>

0，∴m+2>

2．

①m≤≤m+2，即0<

m≤时，

f 

（x）在（m，）上单减，在（，m+2）上单增，∴f 

（x）min=f 

（）=2e；

②当m>

时，f 

（x）在[m，m+2]上单调递增，∴f 

（m）=；

∴综上所述：

当0<

m≤时，f 

（x）min=2e；

当m>

（x）min=．

……………