高中数学第一章统计5152估计总体的分布估计总体的数字特征教学案北师大版必修3Word文件下载.docx
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（2）频率分布直方图的面积为样本的频数．（ ）
（3）频率分布直方图中各小矩形的高（平行于纵轴的边）表示频率与组距的比．（ ）
（4）从频率分布直方图中可以清楚地看出数据的内容．（ ）
答案：
（1）×
（2）×
（3）√ （4）×
2．一个容量为80的样本最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分成（ ）
A．10组 B．9组
C．8组D．7组
解析：
选B 组数＝极差/组距，本题中的极差＝140－51＝89，所以组数为8.9≈9.
3．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a－b|＝（ ）
A．hmB.
C.D．h＋m
选B ＝h，故|a－b|＝组距＝＝.
4．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝________.
由题意得＝0.25，所以n＝200.
200
画频率分布直方图、折线图
[典例] 为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的100棵树的底部周长，得到如下数据（单位：
cm）：
135
98
102
110
99
121
96
100
103
125
97
117
113
92
109
104
112
124
87
131
123
128
105
111
114
108
129
126
115
106
89
80
120
118
90
107
91
101
116
95
119
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图及频率折线图；
（3）估计该片经济林中底部周长小于100cm的树占多少，底部周长不小于120cm的树占多少．
[解]
（1）这组数据的最大的数为135，最小的数为80，最大的数与最小的数的差为55，可将该组数据分为11组，组距为5.
频率分布表如下：
底部周长分组（Δxi）/cm
频数（ni）
频率（fi）
[80,85）
1
0.01
0.002
[85,90）
2
0.02
0.004
[90,95）
4
0.04
0.008
[95,100）
14
0.14
0.028
[100,105）
24
0.24
0.048
[105,110）
15
0.15
0.030
[110,115）
12
0.12
0.024
[115,120）
9
0.09
0.018
[120,125）
11
0.11
0.022
[125,130）
6
0.06
0.012
[130,135]
（2）频率分布直方图和频率折线图如下图所示．
（3）从频率分布表得，样本中底部周长小于100cm的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中底部周长不小于120cm的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19.所以估计该片经济林中底部周长小于100cm的树占21%，底部周长不小于120cm的树占19%.
（1）分点的决定方法：
若数据为整数，则减去0.5作为分点数；
若数据是小数点后一位的数，则减去0.05作为分点数；
依次类推．
（2）画频率分布直方图中小矩形的高的方法：
①小矩形的高＝；
②假设频数为1的小矩形的高为h，则频数为k的小矩形的高为kh.
[活学活用]
为了了解九年级学生中女生的身高（单位：
cm）情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：
组别
频数
频率
145.5～149.5
149.5～153.5
0.08
153.5～157.5
20
0.40
157.5～161.5
0.30
161.5～165.5
8
0.16
165.5～169.5
m
n
合计
M
N
（1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
（2）画出频率分布直方图；
（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率．
解：
（1）法一：
N＝1，n＝1－（0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16）＝0.04，＝，∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.
法二：
M＝＝50，m＝50－（1＋4＋20＋15＋8）＝2，N＝1，n＝＝＝0.04.
（2）作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．
（3）由频率分布直方图可知：
样本中在153.5～157.5范围内的人数最多，且身高在161.5cm以上的频率为0.16＋0.04＝0.2，由此可估计全体女生中身高在153.5～157.5范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率估计为0.2.
频率分布直方图的应用
[典例] 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
[解]
（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
（2）由图可估计该校高一学生的达标率约为
×
100%＝88%.
频率分布直方图中的性质
（1）图中每个小矩形的面积表示相应各组的频率，即小矩形的面积＝组距×
＝频率．
（2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积的总和等于1.
（3）＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×
频率＝频数．
（4）频率分布直方图中，各小矩形的面积之比等于频率之比，各小矩形的高度之比也等于频率之比．
1．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10,12）内的频数为（ ）
A．18 B．36
C．54D．72
选B 样本数据落在区间[10,12）内的频率为1－（0.02×
2＋0.05×
2＋0.15×
2＋0.19×
2）＝0.18，所以样本数据落在区间[10,12）内的频数为0.18×
200＝36.
2．为提高全省高中教师的新课程实施能力，全面推进素质教育，山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训．培训结束后，某市为了解参训教师的成绩情况，从本市参加培训的5000名教师中随机抽取了100名，对他们的成绩（单位：
分）进行统计分析，并画出了成绩的频率分布直方图如下．根据频率分布直方图，完成下面问题：
（1）这100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组？
请说明理由；
（2）如果成绩在300分以上（含300分）者为优秀学员，估计该市优秀学员的人数．
（1）100个数据的中位数是第50和第51两个数据的平均数，前两个小组的频率和为0.002×
100×
2＝0.4，其频数为0.4×
100＝40<
50，故中位数不在前两个小组；
前三个小组的频率之和为（0.002＋0.002＋0.004）×
100＝0.8，频数之和为0.8×
100＝80>
50，故中位数应在第三小组．
（2）由频率分布直方图可知，优秀学员的频率为（0.001＋0.001）×
100＝0.2，所以估计该市优秀学员的人数为5000×
0.2＝1000（人）.
估计总体的数字特征
[典例] 两台机床同时生产直径（单位：
cm）为10的圆形截面零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：
机床甲
10
9.8
10.2
机床乙
10.1
9.9
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
[解]
（1）先计算平均直径：
甲＝×
（10＋9.8＋10＋10.2）＝10，
乙＝×
（10.1＋10＋9.9＋10）＝10.
由于甲＝乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣．
（2）再计算方差：
s＝×
[（10－10）2＋（9.8－10）2＋（10－10）2＋（10.2－10）2]＝0.02，
[（10.1－10）2＋（10－10）2＋（9.9－10）2＋（10－10）2]＝0.005.
s>
s，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．
样本的平均数和方差是两个重要的数字特征．在应用平均数和方差解决实际问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由方差研究其与平均数的偏离程度．
为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的1
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