全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准B卷精品版Word格式.docx
《全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准B卷精品版Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准B卷精品版Word格式.docx(32页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准B卷精品版Word格式.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/10/30203d3d-51dd-477a-bdce-b231d73bc76d/30203d3d-51dd-477a-bdce-b231d73bc76d1.gif)
四点共圆.…30分
所以
在
的外接圆上,故
上.…40分
再用相交弦定理:
四点共圆.…50分
二、(本题满分50分)
求满足下列关系式组
的正整数解组
的个数.
[解]令
,由条件知
,方程化为
,即
.
(1)
因
,故
,从而
设
.因此
(1)化为
.
(2)…10分
下分
为奇偶讨论,
(ⅰ)当
为奇数时,由
(2)知
为奇数.
令
,代入
(2)得
.(3)
(3)式明显无整数解.故当
为奇数时,原方程无正整数解.…20分
(ⅱ)当
为偶数时,设
,由方程
(2)知
也为偶数.从而可设
,代入
(2)化简得
.(4)
由(4)式有
,从而可设
,则(4)可化为
. (5)
为整数,故
.…30分
又
,因此
,得
.
因此,对给定的
,解的个数恰是满足条件
的
的正因数
的个数
.因
不是完全平方数,从而
为
的正因数的个数
的一半.即
. …40分
由题设条件,
.而
25以内有质数9个:
2,3,5,7,11,13,17,19,23.将25以内的数分为以下八组:
:
从而易知
将以上数相加,共131个.因此解的个数共131. …50分
三、(本题满分50分)
.证明:
当且仅当
时,存在数列
满足以下条件:
(ⅰ)
;
(ⅱ)
存在;
(ⅲ)
[证]必要性:
假设存在
满足(ⅰ),(ⅱ).注意到(ⅲ)中式子可化为
,
其中
将上式从第1项加到第
项,并注意到
得
.…10分
由(ⅱ)可设
,将上式取极限得
因此
.…20分
充分性:
假设
.定义多项式函数如下:
则
在[0,1]上是递增函数,且
因此方程
在[0,1]内有唯一的根
,且
.…30分
下取数列
,则明显地
满足题设条件(ⅰ),且
的极限存在,满足(ⅱ).…40分
最后验证
满足(ⅲ),因
综上,已证得存在数列
满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ).…50分
高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准(B卷)以
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;
其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.函数
上的最小值是(B)
A.3B.2C.1D.0
[解]当
时,
,当且仅当
时上式取等号.而此方程有解
上的最小值为2.
2.设
,若
,则实数
的取值范围为(A)
A.
B.
C.
D.
[解]因
有两个实根
等价于
且
解之得
3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为
,乙在每局中获胜的概率为
,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数
的期望
为 (C)
A.
B.
C.
D.
[解法一]依题意知,
的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
[解法二]依题意知,
表示甲在第
局比赛中获胜,则
表示乙在第
局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
4.若三个棱长均为整数(单位:
cm)的正方体的表面积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为(D)
A.586cm3 B.586cm3或564cm3
C.764cm3 D.764cm3或586cm3
[解]设这三个正方体的棱长分别为
,则有
,不妨设
.故
只能取9,8,7,6.
若
,易知
,得一组解
.但
或5.若
无解,若
无解.此时无解.
,有唯一解
,此时
,但
无解.
综上,共有两组解
或
体积为
cm3或
cm3.
5.方程组
的有理数解
的个数为(C)
A.4B.3C.2D.1
[解]若
解得
,则由
.①
由
.②
将②代入
.③
由①得
,代入③化简得
.
易知
无有理数根,故
,由①得
,由②得
,与
矛盾,故该方程组共有两组有理数解
6.设
的内角
所对的边
成等比数列,则
的取值范围是
(B)
B.
C.
D.
[解]设
的公比为
,而
因此,只需求
的取值范围.
成等比数列,最大边只能是
要构成三角形的三边,必需且只需
.即有不等式组
即
,因此所求的取值范围是
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.设
,其中
为实数,
17.
[解]由题意知
因此
8.设
的最小值为
[解]
(1)
当
时取最小值
(2)
时取最小值1;
(3)
的最小值不能为
,解得
(舍去).
9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.
[解法一]用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用
表示名额.如
表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.
若把每个“
”与每个“
”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于
个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“
”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有
种.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为
,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
的正整数解的个数,即方程
的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:
10.设数列
的前
项和
满足:
=
即2
=
由此得2
(
),
有
,所以
11.设
是定义在
上的函数,若
,且对任意
,满足
[解法一]由题设条件知
因此有
[解法二]令
,则
是周期为2的周期函数,
12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
.
[解]如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为
,作平面
//平面
,与小球相切于点
,则小球球心
为正四面体
的中心,
,垂足
的中心.
记此时小球与面
的切点为
,连接
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为
)相切时的情况,易知小球在面
上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为
,如答12图2.记正四面体的棱长为
,过
作
于
因
,有
,故小三角形的边长
小球与面
不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)
.
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.已知函数
的图像与直线
有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为
[证]
的图象与直线
的三个交点如答13图所示,且在
内相切,其切点为
…5分
由于
…15分
. …20分
14.解不等式
[解法一]由
上为增函数,故原不等式等价于
.
即
. …5分
分组分解
, …10分
所以
.…15分
故原不等式解集