北京市西城区届高三第一次模拟考试数学文试题Word格式文档下载.docx

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5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图

中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）

6．若实数，满足条件则的最大值为（）

7．设等比数列的前项和为．则“”是“”的（）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分又不必要条件

8．已知集合，其中，且

.则中所有元素之和是（）

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9.已知向量，.若，则实数_____.

10.某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒

与秒之间．将测试结果分成组：

，，

，，，得到如图所示的频率分

布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为

，那么成绩在的学生人数是_____．

11.函数的最小正周期为_____．

12.圆的圆心到直线的距离是_____.

13.已知函数则的零点是_____；

的值域是_____．

14.如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作

轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，

确定了.依此类推，可由，确定，.记，.

给出下列三个结论：

①数列是递减数列；

②对，；

③若，，则.

其中，所有正确结论的序号是_____．

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）在△中，已知．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，△的面积是，求．

16.（本小题满分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（）班和（）班报名参加的人数分别是和．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（）班抽取了名同学．

（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；

（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动，每次随机抽取小组中名同学发言．求次发言的学生恰好来自不同班级的概率．

17．（本小题满分14分）如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）若，求证：

；

（Ⅲ）求四面体体积的最大值．

18.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，一个焦点为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值．

19.（本小题满分13分）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．

（Ⅰ）求面积以为自变量的函数式；

（Ⅱ）若，其中为常数，且，求的最大值．

数学（文科）参考答案及评分标准

2019.4

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C；

2.D；

3.D；

4.B；

5.A；

6.B；

7.C；

8.C.

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.；

10.；

11.；

12.；

13.和，；

14.①②③.

注：

13题第一问2分，第二问3分;

14题少选1个序号给2分.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

由，得．…………3分

所以原式化为．………4分

因为，所以，所以．………6分

因为，所以．……7分

（Ⅱ）解：

由余弦定理，

得．……9分

因为，，

所以．……………11分

因为，所以.……………13分

16.（本小题满分13分）

设从（）班抽取的人数为，

依题意得，所以，

研究性学习小组的人数为．……5分

（Ⅱ）设研究性学习小组中（）班的人为，（）班的人为．

次交流活动中，每次随机抽取名同学发言的基本事件为：

，，，，，

，，，，，共种．…9分

次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：

，，，，，，，，，

，，，共种．………12分

所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为．……13分

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：

因为四边形，都是矩形，

所以∥∥，．

所以四边形是平行四边形，……………2分

所以∥，………………3分

因为平面，

所以∥平面．………………4分

（Ⅱ）证明：

连接，设．

因为平面平面，且，

所以平面，……5分

所以．…………6分

又，所以四边形为正方形，所以．………………7分

所以平面，………………8分

所以．………………9分

（Ⅲ）解：

设，则，其中．

由（Ⅰ）得平面，

所以四面体的体积为．………11分

所以．……………13分

当且仅当，即时，四面体的体积最大．………………14分

18.（本小题满分14分）

设椭圆的半焦距为，则．………………1分

由，得，从而………………4分

所以，椭圆的方程为．……………5分

设．

将直线的方程代入椭圆的方程，

消去得．……………7分

由，得，且．…………9分

设线段的中点为，则，．……………10分由点，都在以点为圆心的圆上，得，…………11分

即，解得，符合题意．…………13分

所以．……………14分

19.（本小题满分13分）

依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为．……1分

点的横坐标满足方程，解得，舍去．……2分

所以．……4分

由点在第一象限，得．

所以关于的函数式为，．…………5分

由及，得．……………6分

记，

则．………………8分

令，得．………………9分

①若，即时，与的变化情况如下：

↗

极大值

↘

所以，当时，取得最大值，且最大值为．…………11分

②若，即时，恒成立，

所以，的最大值为．…………13分

综上，时，的最大值为；

时，的最大值为．

20.（本小题满分13分）

数列不能结束，各数列依次为；

…．

以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．………3分

（ⅰ）因为的各项之和为，且，所以为的最大项，

所以最大，即，或．…………5分

当时，可得

由，得，即，故．…7分

当时，同理可得，．………8分

（ⅱ）方法一：

由，则经过次“变换”得到的数列分别为：

．

由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．

因为，

所以，数列经过次“变换”后得到的数列为．

接下来经过“变换”后得到的数列分别为：

，……

从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．

所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．

……………13分

方法二：

若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列“结构相同”．

若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为（不考虑顺序）．

所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．

因此，数列经过次“变换”一定得到各项为（不考虑顺序）的数列．

通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．

所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．