函数的定义域与值域知识点与题型归纳Word文档下载推荐.docx
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如果函数是由几个部分的数学式子构成的,
那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.
知识点二基本初等函数的值域
值域必须写成集合或区间的形式
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:
当a>0时,值域为{y|y≥};
当a<0时,值域为{y|y≤}
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
(补充)三角函数中
正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx的值域均为
正切函数y=tanx值域为
《名师一号》P15
知识点二函数的最值
《名师一号》P16问题探究问题3
函数最值与函数值域有何关系?
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素;
任何一个函数,其值域必定存在,但其最值不一定存在.
1、温故知新P11知识辨析1
(2)
函数的值域为()
答案:
正确
2、温故知新P11第4题
D
牢记基本函数的值域
3、温故知新P11第6题
函数的值域是,则函数的值域是()
A
图像左右平移没有改变函数的值域
二、例题分析:
(一)函数的定义域
1.据解析式求定义域
例1.
(1)《名师一号》P13对点自测1
(2014·
山东)函数的定义域
为( )
A. B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)
解析 要使函数有意义,应有(log2x)2>
1,且x>
0,
即log2x>
1或log2x<
-1,
解得x>
2或0<
x<
.
所以函数f(x)的定义域为∪(2,+∞).
例1.
(2)《名师一号》P14高频考点例1
(1)
函数f(x)=+的定义域为( )
A.(-3,0]B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1]
解析:
由题意得解得-3<
x≤0.
《名师一号》P14高频考点例1规律方法
(1)
求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集.
函数的定义域一定要用集合或区间表示
例2.(补充)
若函数的定义域为
则实数的取值范围是;
变式:
?
练习:
2.求复合函数的定义域
例3.
(1)《名师一号》P14高频考点例1
(2)
(2015·
北京模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则函数y=f(2x)-ln(x-1)的定义域为( )
A.[1,2]B.(1,2]C.[1,8]D.(1,8]
由已知函数y=f(x)的定义域为[0,4].
则使函数y=f(2x)-ln(x-1)有意义,需
解得1<
x≤2,所以定义域为(1,2].
例3.
(2)《名师一号》P13对点自测2
已知函数f(x)=,则函数f(f(x))的定义域是( )
A.{x|x≠-1}B.{x|x≠-2}
C.{x|x≠-1且x≠-2}D.{x|x≠-1或x≠-2}
解析 解得x≠-1且x≠-2.
《名师一号》P14高频考点例1规律方法
(2)
(P13问题探究问题1类型二)
已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域,
是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,
而已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是x∈[a,b].
例4.(补充)已知的定义域是,求
的定义域。
《名师一号》P13问题探究问题1类型三
若已知的定义域为,求的
定义域相当于当时,求的值域
(即的定义域)
已知的定义域是,求函数的定义域。
如:
的定义域是,
的定义域
1、设函数,
求函数的定义域。
得
2、设函数的定义域为,求函数
3.实际问题中函数定义域的确定
实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义
(二)求函数值域
求函数的值域先求定义域!
(1)确定函数值域的原则
①当函数y=f(x)用表格给出时,
函数的值域是指表格中y的值的集合.
②当函数y=f(x)的图象给出时,
函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的
值的集合.
③当函数y=f(x)用解析式给出时,
函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定.
④当函数由实际问题给出时,
函数的值域应结合问题的实际意义确定.
(2)基本初等函数的值域
(3)求函数值域的方法
求函数的值域是高中数学的难点,它没有固定的方法和模式.常用的方法有:
《名师一号》P14问题探究问题2
怎样求解函数的值域?
求函数值域的基本方法
(1)观察法:
一些简单函数,通过观察法求值域.
(2)配方法:
“二次函数类”用配方法求值域.
(3)换元法:
形如y=ax+b±
(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数常用换元法求值域,形如y=ax+的函数用三角函数代换求值域.
(4)分离常数法:
形如y=(a≠0)的函数可用此法求值域.
(5)单调性法:
函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.
(6)数形结合法:
画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围.
《名师一号》P17高频考点例3规律方法(3)、(4)
基本不等式、导数法
例1.《名师一号》P14高频考点例2
(1)
求函数的值域
答案:
小结:
求函数值域的基本方法
1.配方法:
《名师一号》P14问题探究问题
(2)
——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法,形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法,要特别注意自变量的范围;
二次函数在给定区间上的最值有两类:
(1)求闭区间上的最值;
(2)求区间定(动),对称轴动(定)的最值
----二次函数专题
例2.
(1)(补充)
例2.
(2)《名师一号》P14高频考点例2
(2)
求函数y=2x-的值域
方法1:
令=t(t≥0),则x=.
∴y=1-t2-t=-2+.
∵二次函数对称轴为t=-,
∴在[0,+∞)上,y=-2+是减函数.
故ymax=-2+=1,
故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1].
方法2:
∵y=2x与y=-均为定义域上的增函数,故y=2x-是定义域为{x|x≤}上的增函数,故ymax=2×
-=1,无最小值.
故函数的值域为(-∞,1].
分析:
令
(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数
令,使之变形为二次函数
例2.(3)(补充)
2.换元法:
《名师一号》P14问题探究问题(3)
运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定
的另一函数,从而求得原函数的值域.
例如:
对于含结构的函数,可以利用三角代换,
令,
或令转化为三角函数
强调:
换元后要确定新元的取值范围!
例3.
(1)《名师一号》P14高频考点例2(3)
例3.
(2)(补充)
变式1:
变式2:
3.不等式法:
《名师一号》P17高频考点例3规律方法(3)
利用基本不等式:
a+b≥2(a、b∈R+)求函数的值域.
用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件
“一正、二定、三相等”.
例4.
(1)(补充)求函数的值域
例4.
(2)求函数的值域
(前面换元法已讲解)
4.利用函数单调性:
《名师一号》P14问题探究问题(5)
根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域.
(补充)注意双勾函数的单调性!
函数在区间单调递减;
函数在区间单调递增.
例5.
(1)温故知新P11知识辨析1
(2)
例5.
(2)(补充)求函数的值域.
值域
5.分离常数法:
《名师一号》P14问题探究问题(5)
形如的函数的值域可使用此法
1、2、
3、
3、
例6.《名师一号》P14高频考点例2(4)
法一:
换元+分离常数法
※法二:
利用函数有界性
由y=,得3x=.
∵3x>0,∴>0,∴0<y<1.
∴原函数的值域为(0,1),无最值.
(补充)求函数的值域
※6.函数有界性法:
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过的函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数、指数函数的有界性。
例7.
(1)《计时双基练》P215第9题
定义运算:
例如:
则函数
的最大值为
4
《名师一号》P15特色专题典例
已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=(