函数的定义域与值域知识点与题型归纳Word文档下载推荐.docx
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如果函数是由几个部分的数学式子构成的，
那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
知识点二基本初等函数的值域
值域必须写成集合或区间的形式
（1）y＝kx＋b（k≠0）的值域是R.
（2）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值域是：
当a＞0时，值域为{y|y≥}；
当a＜0时，值域为{y|y≤}
（3）y＝（k≠0）的值域是{y|y≠0}
（4）y＝ax（a＞0且a≠1）的值域是{y|y＞0}
（5）y＝logax（a＞0且a≠1）的值域是R.
（补充）三角函数中
正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的值域均为
正切函数y＝tanx值域为
《名师一号》P15
知识点二函数的最值
《名师一号》P16问题探究问题3
函数最值与函数值域有何关系？
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；
任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．
1、温故知新P11知识辨析1
（2）
函数的值域为（）
答案：
正确
2、温故知新P11第4题
D
牢记基本函数的值域
3、温故知新P11第6题
函数的值域是，则函数的值域是（）
A
图像左右平移没有改变函数的值域
二、例题分析：
（一）函数的定义域
1．据解析式求定义域
例1.
（1）《名师一号》P13对点自测1
（2014·
山东）函数的定义域
为（ ）
A. B．（2，＋∞）
C.∪（2，＋∞）D.∪[2，＋∞）
解析 要使函数有意义，应有（log2x）2>
1，且x>
0，
即log2x>
1或log2x<
－1，
解得x>
2或0<
x<
.
所以函数f（x）的定义域为∪（2，＋∞）．
例1.
（2）《名师一号》P14高频考点例1
（1）
函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A．（－3,0]B．（－3,1]
C．（－∞，－3）∪（－3,0]D．（－∞，－3）∪（－3,1]
解析：
由题意得解得－3<
x≤0.
《名师一号》P14高频考点例1规律方法
（1）
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
函数的定义域一定要用集合或区间表示
例2.（补充）
若函数的定义域为
则实数的取值范围是；
变式：
?
练习：
2．求复合函数的定义域
例3.
（1）《名师一号》P14高频考点例1
（2）
（2015·
北京模拟）已知函数y＝f（x）的定义域为[0,4]，则函数y＝f（2x）－ln（x－1）的定义域为（ ）
A．[1,2]B．（1,2]C．[1,8]D．（1,8]
由已知函数y＝f（x）的定义域为[0,4]．
则使函数y＝f（2x）－ln（x－1）有意义，需
解得1<
x≤2，所以定义域为（1,2]．
例3.
（2）《名师一号》P13对点自测2
已知函数f（x）＝，则函数f（f（x））的定义域是（ ）
A．{x|x≠－1}B．{x|x≠－2}
C．{x|x≠－1且x≠－2}D．{x|x≠－1或x≠－2}
解析 解得x≠－1且x≠－2.
《名师一号》P14高频考点例1规律方法
（2）
（P13问题探究问题1类型二）
已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域，
是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，
而已知f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
例4．（补充）已知的定义域是，求
的定义域。
《名师一号》P13问题探究问题1类型三
若已知的定义域为，求的
定义域相当于当时，求的值域
（即的定义域）
已知的定义域是，求函数的定义域。
如:
的定义域是,
的定义域
1、设函数，
求函数的定义域。
得
2、设函数的定义域为，求函数
3．实际问题中函数定义域的确定
实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义
（二）求函数值域
求函数的值域先求定义域！
（1）确定函数值域的原则
①当函数y＝f（x）用表格给出时，
函数的值域是指表格中y的值的集合．
②当函数y＝f（x）的图象给出时，
函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的
值的集合．
③当函数y＝f（x）用解析式给出时，
函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．
④当函数由实际问题给出时，
函数的值域应结合问题的实际意义确定．
（2）基本初等函数的值域
（3）求函数值域的方法
求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：
《名师一号》P14问题探究问题2
怎样求解函数的值域？
求函数值域的基本方法
（1）观察法：
一些简单函数，通过观察法求值域．
（2）配方法：
“二次函数类”用配方法求值域．
（3）换元法：
形如y＝ax＋b±
（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域．
（4）分离常数法：
形如y＝（a≠0）的函数可用此法求值域．
（5）单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．
（6）数形结合法：
画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．
《名师一号》P17高频考点例3规律方法（3）、（4）
基本不等式、导数法
例1.《名师一号》P14高频考点例2
（1）
求函数的值域
答案:
小结:
求函数值域的基本方法
1．配方法：
《名师一号》P14问题探究问题
（2）
——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F（x）＝af2（x）＋bf（x）＋c的函数的值域问题，均可使用配方法，要特别注意自变量的范围；
二次函数在给定区间上的最值有两类：
（1）求闭区间上的最值；
（2）求区间定（动），对称轴动（定）的最值
----二次函数专题
例2.
（1）（补充）
例2.
（2）《名师一号》P14高频考点例2
（2）
求函数y＝2x－的值域
方法1：
令＝t（t≥0），则x＝.
∴y＝1－t2－t＝－2＋.
∵二次函数对称轴为t＝－，
∴在[0，＋∞）上，y＝－2＋是减函数．
故ymax＝－2＋＝1，
故函数有最大值1，无最小值，其值域为（－∞，1]．
方法2：
∵y＝2x与y＝－均为定义域上的增函数，故y＝2x－是定义域为{x|x≤}上的增函数，故ymax＝2×
－＝1，无最小值．
故函数的值域为（－∞，1]．
分析:
令
（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数
令，使之变形为二次函数
例2.（3）（补充）
2．换元法：
《名师一号》P14问题探究问题（3）
运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定
的另一函数，从而求得原函数的值域．
例如：
对于含结构的函数，可以利用三角代换，
令，
或令转化为三角函数
强调：
换元后要确定新元的取值范围！
例3.
（1）《名师一号》P14高频考点例2（3）
例3.
（2）（补充）
变式1：
变式2：
3.不等式法：
《名师一号》P17高频考点例3规律方法（3）
利用基本不等式：
a＋b≥2（a、b∈R＋）求函数的值域．
用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件
“一正、二定、三相等”．
例4.
（1）（补充）求函数的值域
例4.
（2）求函数的值域
（前面换元法已讲解）
4.利用函数单调性:
《名师一号》P14问题探究问题（5）
根据函数在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性求出函数的值域．
（补充）注意双勾函数的单调性!
函数在区间单调递减;
函数在区间单调递增.
例5.
（1）温故知新P11知识辨析1
（2）
例5.
（2）（补充）求函数的值域.
值域
5.分离常数法:
《名师一号》P14问题探究问题（5）
形如的函数的值域可使用此法
1、2、
3、
3、
例6.《名师一号》P14高频考点例2（4）
法一：
换元+分离常数法
※法二：
利用函数有界性
由y＝，得3x＝.
∵3x＞0，∴＞0，∴0＜y＜1.
∴原函数的值域为（0,1），无最值．
（补充）求函数的值域
※6．函数有界性法：
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过的函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数、指数函数的有界性。
例7.
（1）《计时双基练》P215第9题
定义运算:
例如:
则函数
的最大值为
4
《名师一号》P15特色专题典例
已知函数f（x）＝x2－2（a＋2）x＋a2，g（x）＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8.设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）．记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A－B＝（
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