等比数列典型例题及详细解答Word文档下载推荐.docx

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当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝＝.

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）满足an＋1＝qan（n∈N*，q为常数）的数列{an}为等比数列．（　×

　）

（2）G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.（　×

（3）如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．（　×

（4）如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．（　×

（5）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.（　×

（6）数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．（　×

1．（2015·

课标全国Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于（　　）

A．21B．42C．63D．84

答案　B

解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3（1＋q2＋q4）＝21，解得q2＝－3（舍去）或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2（a1＋a3＋a5）＝2×

21＝42，故选B.

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于（　　）

A．31B．32C．63D．64

答案　C

解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得（S4－S2）2＝S2·

（S6－S4），即122＝3×

（S6－15），解得S6＝63.故选C.

3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于（　　）

A．6B．5C．4D．3

解析　数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg（a1·

a2·

…·

a8）＝lg（a1·

a8）4

＝lg（a4·

a5）4＝lg（2×

5）4＝4.

4．（2015·

安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．

答案　2n－1

解析　由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程

解得或又∵数列{an}为递增数列，

∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.

∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.

5．（教材改编）在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

答案　27,81

解析　设该数列的公比为q，由题意知，

243＝9×

q3，q3＝27，∴q＝3.

∴插入的两个数分别为9×

3＝27,27×

3＝81.

题型一　等比数列基本量的运算

例1　

（1）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于（　　）

A.B.C.D.

（2）在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.

答案　

（1）B　

（2）4或－4

解析　

（1）显然公比q≠1，由题意得

解得或（舍去），

∴S5＝＝＝.

（2）设等比数列{an}的公比为q（q≠0），

则两式相除，得＝，

即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.

所以或故a3＝4或a3＝－4.

思维升华　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）可迎刃而解．

（1）在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·

a8＝6，a4＋a6＝5，则等于（　　）

A.B.

C.D.

（2）（2015·

湖南）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.

答案　

（1）D　

（2）3n－1

解析　

（1）设公比为q，则由题意知0＜q＜1，

由得a4＝3，a6＝2，

所以＝＝.

（2）由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.

题型二　等比数列的判定与证明

例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

（1）设bn＝an＋1－2an，证明：

数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，

有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.

∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

又

①－②，得an＋1＝4an－4an－1（n≥2），

∴an＋1－2an＝2（an－2an－1）（n≥2）．

∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1（n≥2），

故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．

（2）解　由

（1）知bn＝an＋1－2an＝3·

2n－1，

∴－＝，

故{}是首项为，公差为的等差数列．

∴＝＋（n－1）·

＝，

故an＝（3n－1）·

2n－2.

引申探究

例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋（n＋1）”，其他不变探求数列{an}的通项公式．

解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.

∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，

∴an＋1＝2an＋1，

∴an＋1＋1＝2（an＋1），又a1＝1，

当n＝1时上式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，

∴an＋1＝2·

2n－1＝2n，∴an＝2n－1.

思维升华　

（1）证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；

若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

（2）利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．

　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）Sn＋2n（n∈N*）．

（1）求a2，a3的值；

（2）求证：

数列{Sn＋2}是等比数列．

（1）解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）Sn＋2n（n∈N*），

∴当n＝1时，a1＝2×

1＝2；

当n＝2时，a1＋2a2＝（a1＋a2）＋4，

∴a2＝4；

当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2（a1＋a2＋a3）＋6，

∴a3＝8.

综上，a2＝4，a3＝8.

（2）证明　a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）Sn＋2n（n∈N*），①

∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1

＝（n－2）Sn－1＋2（n－1）．②

①－②得nan＝（n－1）Sn－（n－2）Sn－1＋2＝n（Sn－Sn－1）－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.

∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，

∴Sn＋2＝2（Sn－1＋2）．

∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，

∴＝2，

故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

题型三　等比数列的性质及应用

例3　

（1）在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.

（2）等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.

答案　

（1）　

（2）－

解析　

（1）由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a，a3a5＝a，

得a＋a＝41.因为a4a8＝5，

所以（a4＋a8）2＝a＋2a4a8＋a＝41＋2×

5＝51.

又an>

0，所以a4＋a8＝.

（2）由＝，a1＝－1知公比q≠±

1，

则可得＝－.

由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，

故q5＝－，q＝－.

思维升华　

（1）在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量．

（2）等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk（q≠－1）．

　已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a，a2＝2，则a1等于（　　）

C.D．2

（2）等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）由等比数列的性质得a3a9＝a＝2a，

∵q＞0，∴a6＝a5，q＝＝，a1＝＝，故选C.

（2）设等比数列{an}共有2k＋1（k∈N*）项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝（a2＋a4＋…＋a2k）＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝＝255，解得a1＝3，故选C.

12．分类讨论思想在等比数列中的应用

典例　（12分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且－2S2，S3,4S4成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

Sn＋≤（n∈N*）．

思维点拨　

（1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

（2）求出前n项和，根据函数的单调性证明．

规范解答

（1）解　设等比数列{an}的公比为q，

因为－2S2，S3,4S4成等差数列，

所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，

可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.[2分]

又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为

an＝×

n－1＝（－1）n－1·

.[3分]

（2）证明　由

（1）知，Sn＝1－n，

Sn＋＝1－n＋＝[6分]

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S1＋＝.[8分]

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S2＋＝.[10分]

故对于n∈N*，有Sn＋≤.[12分]

温馨提醒　

（1）分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有

①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．

②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．

③项数的奇、偶数讨论．

④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．

（2）数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.

[方法与技巧]

1．已知等比数列{an}

（1）数列{c·

an}（c≠0），{|an|}，{a}，