学年辽宁省大连市普兰店区第二中学高三数学上竞赛期中考试理试题含答案Word格式文档下载.docx

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A．9B．16C．18D．20

8.若函数，又，且的最小值为，则正数ω的值是（　　）

A．B．C．D．

9.现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问不同的分法有（）

A．36种B.9种C.18种D.15种

10.已知是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）

A．B．C．2D．3

11.已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（　　）

A．[2﹣，3]B．[1，2+]C．[2﹣，2+]D．[1，3]

12.已知定义在上的函数的导函数满足，且，其中为自然对数的底数，则不等式的解集是（　　）

A.B.C.D.

第II卷（非选择题共90分）

二.填空题（每小题5分，共20分）

13.设，则展开式的常数项为　　．

14.设的内角所对边的长分别为，若，则角=　　．

15.过抛物线的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为

16.给出定义：

若，则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个结论：

①函数的定义域为，值域为；

②函数的图像关于直线对称；

③函数是偶函数；

④函数在上是增函数。

其中正确结论的序号是。

（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：

本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是否存在最大的整数，使得对任意的均有总成立？

若存在，求出；

若不存在，请说明理由．

18.（本小题满分12分）

某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格x（元）

4

5

6

7

9

产品销量y（件）

84

83

80

75

68

已知变量具有线性负相关关系，且，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：

甲；

乙；

丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．

（1）试判断谁的计算结果正确？

并求出的值；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）

如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，且.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角的大小．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆,是椭圆的焦点,是椭圆上一点，且；

（1）求的离心率并求出的方程；

（2）为椭圆上任意一点，直线交椭圆于点，直线交椭圆于点，设直线的斜率为，直线的斜率为；

（i）求证:

;

（ii）求的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

请考生在22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

22.（本小题满分10分）选修4-4：

极坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C2的参数方程为（α为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．

（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C3的普通方程；

（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|．

23.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，

（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．

1-5DCBCD6-10ACBBC11-12AB

13.-16014.15.16.①②③

17.解：

（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，…（2分）

整理得2a1d=d2．∵a1=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）

∴an=2n﹣1（n∈N*）．…（6分）

（2），

∴=．…

假设存在整数总成立．

又，

∴数列{Sn}是单调递增的．…（12分）

∴．

又∵t∈N*，∴适合条件的t的最大值为8．…

18.解：

（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，

且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，

yi=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，

∵=6.5，=80，

将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，

故回归方程为：

y=﹣4x+106；

（2）

X

8

y

90

92

88

76

72

“理想数据“的个数ξ取值为：

0，1，2，3；

P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．

“理想数据“的个数ξ的分布列：

X

0

1

2

3

P

=

数学期望E（X）=0×

+1×

+2×

+3×

=1.5．

19.证明：

（Ⅰ）过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF．

因为MF∥DC，，所以．…（2分）

又，所以．故，…（4分）

所以四边形NBFM为平行四边形，故MN∥BF，

而BF⊆平面BEC，MN⊄平面BEC，

所以MN∥平面BEC；

…（6分）

解：

（Ⅱ）以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

直角坐标系，则E（3，0，0），N（0，1，0），M（1，0，2），C（0，3，3），

=（2，0，﹣2），=（﹣1，3，1），=（﹣2，0，2），=（﹣3，1，0），

设平面MEC的法向量为=（x，y，z），

则，取x=1，得，

设平面MNE的法向量为，

则，即，取x1=1，得，

，

所求二面角的大小为…（12分）

20.解：

（1）解：

椭圆C4的方程为：

=4，即：

=1．

不妨设c2=a2﹣b2则F2（2c，0）．∵⋅=0，∴⊥．

于是2c=2，==，2b4=a2=b2+1，

∴2b4﹣b2﹣1=0，（2b2+1）（b2﹣1）=0，∴b2=1，a2=2．

∴椭圆Cn的方程为：

+y2=n．

∴e2==，∴e=．

椭圆C1的方程为：

+y2=1．

（2）（i）证明：

椭圆C2的方程为：

+y2=2即：

+=1．

+y2=4即：

∴F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），

∵P在椭圆C2上，∴=1，即y02=（4﹣x02）．

∴k1k2=•===﹣．

（ii）设直线PF1的方程为：

y=k1（x+2）直线PF2的方程为：

y=k2（x﹣2），

联立方程组：

消元整理得：

（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0…①

设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：

x1+x2=﹣，x1x2=．

∴|EF|==．

同理：

|MN|=．

∴|EF|⋅|MN|=•=32×

=32×

=16+≤18，又|EF|⋅|MN|＞0．∴|EF|⋅|MN|∈（16，18]．

21.解：

（I）当p=2时，函数，f

（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，

曲线f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率为f'

（1）=2+2﹣2=2．

从而曲线f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）

即y=2x﹣2．

（II）．令h（x）=px2﹣2x+p，

要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．

由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，

∴，只需，

即p≥1时，h（x）≥0，f'

（x）≥0

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．

（III）∵在[1，e]上是减函数，

∴x=e时，g（x）min=2；

x=1时，g（x）max=2e，

即g（x）∈[2，2e]，

当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，

所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．

当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，

，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．

∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f

（1）=0＜2，不合题意；

当0＜p＜1时，由，所以．

又由

（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，

∴，不合题意；

当p≥1时，由

（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f

（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，

故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得

综上所述，实数p的取值范围是．

22．解：

（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，

可得普通方程为x﹣y+2=0，

由曲线C2的参数方程为（α为参数），

可得，

即有C3的普通方程为x2+y2=9．…

（2）C1的标准参数方程为（t为参数），

与C3联立可得t2+2t﹣5=0，令|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，由韦达定理，

则有t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=

==2…（10分）

．选修4-5：

不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，

（1）