异面直线成角求法文档格式.docx

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。

所以

图3

解法4：

向量几何法：

设

为空间一组基向量

图4

解法5：

向量代数法：

以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），

图5

解法6：

定理：

四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹角

必满足

图6

解：

连结BC1、A1B在四面体

中，异面直线A1C1与BD1所成的角是

，易求得

图7

由定理得：

所以

面直线所成的角（教师版）

求两条异面直线所成角的步骤：

（1）；

（2）；

（3）；

答案：

（1）找出或作出有关角的图形；

（2）证明它符合定义；

（3）求角．

一．例题与课堂练习

．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝

，求AD、BC所成角的大小．

设BD的中点G，连接FG，EG。

在△EFG中EF＝

FG＝EG＝1

∴∠EGF＝120°

∴AD与BC成60°

的角。

．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，

B

M

A

N

C

S

且

ASB＝

BSC＝

CSA＝

，M、N分别是AB和SC的中点．

求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．

证明：

连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM

∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角

连结BQ，设SC＝a，在△BQN中

BN＝

NQ＝

SM＝

aBQ＝

∴COS∠QNB＝

题3．正

ABC的边长为a，S为

ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．

45°

题4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

∠BCA＝90°

，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，

A1

C1

B1

若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．

连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，

易证∠GNA就是BM与AN所成的角．

设：

BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝

，GN＝B1M＝

cos∠GNA＝

题5．如图，在正方体

中，

E、F分别是

、CD的中点．

求

与

所成的角。

取AB中点G，连结A1G，FG，

因为F是CD的中点，所以GF∥AD，

又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，

故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。

设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。

因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°

即直线AE与D1F所成的角为直角。

B'

（图1－28）

A'

C'

D'

D

F

E

题6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点

（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?

（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小；

（3）求直线AE和CC′所成的角的正切值；

（4）求直线AE和BA′所成的角的余弦值

（1）

∵A'

∉平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且B∉CC′,

∴直线BA′与CC′是异面直线

同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′

成异面直线

（2）∵CC′∥BB′，

∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角

∵∠A′BB′=45°

∴BA′和CC′所成的角是45°

（3）∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角

在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝

＝

，所以AE和CC′所成角的正切值是

（4）取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF∥＝A'

∥＝AB,

∴ABFE是平行四边形，从而BF∥＝AE,即BF∥AE且BF=AE.

∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角

（图1－29）

设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为

A′B＝2

，A′F＝BF＝

，由余弦定理得：

cos∠A′BF＝

【说明】

（1）如图1—29，单独画出△A'

BF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法；

（2）解法中用余弦定理求cos∠A'

BF,其实有更简单方法，请找出简单方法

（3）如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案?

异面直线所成的角的作业

班级：

姓名：

学号：

一．判断是非（下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）梯形的四个顶点在同一平面内；

（2）对边相等的四边形是平行四边形；

（3）平行于同一直线的两直线平行；

（4）垂直于同一直线的两直线平行；

（5）两条直线确定一个平面；

（6）经过三点可以确定一个平面；

（7）无公共点的两直线异面；

（8）两异面直线无公共点；

（9）两异面直线可以同时平行于一直线；

（10）两异面直线可以同时垂直于一直线；

（11）不同在一个已知平面内的两直线异面；

（12）互相垂直的两条直线必可确定一平面

案案：

（1）（3）（8）（10）正确，其余错；

二．选择题

1.没有公共点的两条直线的位置关系是（）

（A）平行（B）异面（C）平行或异面（D）不能确定

2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）

（A）异面（B）平行（C）平行或异面（D）平行或异面或相交

3.两条异面直线指的是（）

（A）在空间不相交的两条直线（B）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

（C）分别位于两个不同平面的两条直线（D）不同在任一平面内的两条直线

4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是（）

（A）异面（B）异面或平行（C）异面或相交（D）相交、平行或异面

（第6题）

D1

5.说出正方体中各对线段的位置关系：

（1）AB和CC1；

（2）A1C和BD1；

（3）A1A和CB1；

（4）A1C1和CB1；

（5）A1B1和DC；

（6）BD1和DC.

1（C）；

2（D）；

3（D）；

4（D）．5．

（2）相交，（5）平行，其余异面；

（第7题）

F1

6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）

（D），取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；

7.如图，A1B1C1—ABC是直

三棱柱（三侧面为矩形），∠BCA=90°

，点D1、F1

分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则

BD1与AF1所成角的余弦值是（）

（A），延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N．

8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC

（A）相交且垂直（B）相交但不垂直（C）异面且垂直（D）异面但不垂直

9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；

②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；

③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；

④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面

在上述四个命题中，真命题的个数是（）

（A）4（B）3（C）2（D）1（E）0

10.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线

（A）不一定存在（B）总共只有一条

（第11题）

（C）总共可能有一条，也可能有两条（D）有无穷多条

11.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果

E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于

（A）90°

（B）60°

（C）45°

（D）30°

8（D）；

9（E）；

10（D）；

11（C）；

（第五题）

（第三题）

4

3

三．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值

（第四题）

6

8

（第六题）

7

5

四.如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值

五.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，

M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与CC1所成角的余弦值。

六.如图，四面体ABCD中，E为AD中点，

若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，

求BE与CD所成角的余弦值。

答案；

三．

，取AD中点E，则∠MEN＝90°

；



四．

，取AC中点F，连EF、BF，求得BE＝

AD＝5，BF＝

AC＝3

五．

，分别取AC、B1C1的中