长沙9年中考 第25课时 点直线与圆的位置关系Word格式文档下载.docx
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（2）求证：
BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
第6题图7.（2013长沙22题8分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC
BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°
，求图中阴影部分的面积．
第7题图
8.（2016长沙24题9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB、DC、DF.
（1）求∠CDE的度数；
DF是⊙O的切线；
（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．
第8题图
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°
，求DE的长．
第9题图
10．（2016郴州）如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.
直线CD是⊙O的切线；
（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度．（结果保留π）
第10题图
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°
，D是AC中点，⊙O过A、B、D，CB延长线交⊙O于E.
AE＝CE；
（2）EF与⊙O相切于E，交AC延长线于F，若CD＝CF＝2，求⊙O的直径；
（3）若CF＝CD，求sin∠CAB.
第11题图
12．（2017娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.
（1）若∠BCD＝36°
，BC＝10，求的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：
2CE2＝AB·
EF.
第12题图答案
1.35 【解析】∵PC是⊙O的切线，OC是经过切点的半径，∴OC⊥PC，又∵∠P＝20°
，∴∠COP＝70°
.∵∠COP是△AOC的一个外角，由外角的性质以及OC＝OA，得∠A＝∠COP＝35°
2．
（1）证明：
如解图，连接BD，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD.（2分）
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°
，∠A＋∠C＝90°
，∠ABD＋∠DBC＝90°
，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝DC，
∴AD＝DC；
……（4分）
（2）解：
如解图，连接OD交AB于点F，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE.……（5分）
∵＝，OD过圆心，
∴OD⊥AB，
又∵AB⊥BC，
∴四边形FBED为矩形，
∴∠DEC＝90°
又∵DE＝EC，
∴∠C＝45°
，……（7分）
∴sinC＝.……（8分）
3．
（1）证明：
如解图，连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
又∵∠ACB＝90°
即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠F.（2分）
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠ODE＝∠F，……（3分）
∴BD＝BF；
设⊙O的半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴r2－r－12＝0，解得r1＝4，r2＝－3（舍），……（7分）
∴S⊙O＝πr2＝16π.……（8分）
4.
（1）证明：
如解图，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，（1分）
又∵点O是AB的中点，点D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，……（2分）
∴OD∥AC，……（3分）
∴DE⊥AC；
如解图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°
又∵D是BC的中点，
∴BD＝DC.
∵AD＝AD，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（SAS），
∴AB＝AC.……（5分）
∵AB＝3DE，
∴AC＝3DE.
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝∠DEA＝90°
∵∠CAD＋∠C＝∠EDC＋∠C＝90°
∴∠CAD＝∠EDC，
∴△ADE∽△DCE，
∴＝，即DE2＝AE·
EC.……（6分）
设DE＝nEC，则AC＝3nEC，AE＝AC－EC＝（3n－1）EC，
∴（nEC）2＝（3n－1）EC·
EC，……（7分）
即n2－3n＋1＝0，
解得n＝，
∵与都是正数，
∴均符合题意，……（8分）
又∵在Rt△DEC中，tan∠ACB＝＝n，
∴tan∠ACB＝n＝.……（9分）
5.
（1）证明：
如解图，连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝∠BCO＝90°
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（ASA），
∴OA＝OB；
由
（1）知△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵在Rt△OAC中，OA＝4，AC＝2，
∴由勾股定理得OC＝＝2，……（6分）
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°
∴∠AOC＝60°
∴∠EOC＝∠AOC＝60°
∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCE＝×
2×
2－＝2－.……（9分）
6.
（1）解：
根据题意可得，OA＝，OB＝，⊙M经过原点O，
∵∠AOB＝90°
∴AB为⊙M的直径，
∴在Rt△AOB中，AB＝＝＝2，
∴⊙M的半径为AB＝；
……（3分）
（2）证明：
∵∠COD与∠DBA是⊙M上所对的圆周角，
∴∠COD＝∠DBA，
又∵∠COD＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠DBA，
∴BD平分∠ABO；
……（6分）
（3）解：
如解图，过点A作⊙M的切线，交BD的延长线于点E，过点E作y轴的垂线，垂足为点H，
∵EA⊥AB，EH⊥BH，
∴∠EAB＝∠EHB＝90°
又∵BE＝BE，∠ABE＝∠HBE，
∴△BEA≌△BEH（AAS），
∴BH＝BA＝2，
∴OH＝BH－OB＝.……（7分）
∵在Rt△AOB中，tan∠ABO＝＝＝，
∴∠ABO＝60°
∴∠CBO＝30°
在Rt△BHE中，tan∠HBE＝tan30°
＝＝，
∴HE＝BH＝×
2＝.
∵EH∥x轴，
∴点E的坐标是（，）．……（9分）
7．
（1）证明：
，∠ABD＋∠BAC＝90°
.……（2分）
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠ABD＋∠DBC＝90°
，……（3分）
，即AB⊥BC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
如解图，连接OD，
∵∠BAC＝30°
∴∠BOD＝2∠BAC＝60°
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，……（6分）
∴S阴影＝S扇形OBD－S△OBD＝－×
＝－.……（8分）
8．
（1）解：
∵AC为⊙O的直径，
，∴∠CDE＝90°
；
……（2分）
（2）证明：
∵在Rt△CDE中，F为CE边的中点，
∴DF＝CF＝CE，
∴∠FDC＝∠FCD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，
即∠ODF＝∠OCF.……（3分）
∵EC⊥AC，
∴∠OCF＝90°
∴∠ODF＝90°
，即OD⊥DF，……（4分）
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
……（5分）
∵∠ACE＝90°
，∠ADC＝90°
∴∠CAD＋∠E＝90°
，∠DCE＋∠E＝90°
∴∠CAD＝∠DCE，
又∵∠ADC＝∠CDE＝90°
∴△ADC∽△CDE，
∴＝，即CD2＝AD·
DE.……（6分）
∵AC＝2DE，
∴令DE＝a，AD＝b，则AC＝2a，CD＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得：
b2＋（）2＝（2a）2，
解得＝4或＝－5（舍去），……（8分）
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝＝2.……（9分）
9.
（1）证明：
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°
∴AB是⊙O的直径；
DE与⊙O相切．
证明：
连接OD，如解图，
∵点O，D分别是BA，BC的中点，
∴OD∥AC.
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
当∠BAC＝60°
时，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB＝6，
∴BD＝3，
∴AD＝3.
∵AC·
DE＝CD·
AD，
∴6×
DE＝3×
3，
∴DE＝.
10.
（1）证明：
∵CA切⊙O于点A，
∴∠CAO＝90°
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC＝∠DOC，
在△AOC和△DOC中，
∴△AOC≌△DOC（SAS），
∴∠CDO＝∠CAO＝90°
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
由
（1）知：
OD⊥BC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴OC＝OB，
∴∠BOD＝∠DOC＝∠COA，
∴∠DOE＝60°
∴的长度为＝πcm.
11.证明：
（1）连接DE，∵∠ABC＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O直径，
∴∠ADE＝90°
∴DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE；
在△ADE和△AEF中，
∵∠ADE＝∠AEF＝90°
，∠DAE＝∠FAE，
∴△ADE∽△AEF，
∴AE＝2，
∴⊙O的直径为2；
∵AE＝CE，ED⊥AC，
∴∠CAB＝∠DEC＝∠DEA，
∴sin∠CAB＝sin∠DE
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