学年高中数学 第一章同步检测123 新人教A版必修5docWord格式文档下载.docx

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6．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°

，向前飞行10000米到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°

，这时飞机与地面目标的水平距离为（　　）

A．2500（－1）米B．5000米

C．4000米D．4000米

二、填空题

7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°

，∠ADB＝45°

.则BD的长为________．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，∠ABC的平分线交过A的与BC平行的直线于D，则△ABD的面积为________．

9．直线AB外有一点C，∠ABC＝60°

，AB＝200km，汽车以80km/h速度由A向B行驶，同时摩托车以50km的时速由B向C行驶，则运动开始约__________小时后，两车的距离最小．（精确到0.01）

三、解答题

10．在△ABC中，C＝60°

，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16.

（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．

（2）当a等于多少时，S有最大值？

并求出最大值．

（3）当a等于多少时，周长l有最小值？

并求出最小值．

能力拓展提升

11．（2010～2011·

河南汤阴县高二期中）一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿东偏南50°

方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°

，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°

，那么B、C两点间的距离是（　　）

A．10nmile　　　　　B．10nmile

C．15nmileD．20nmile

12．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，c＝2，A＝60°

，则a的值为（　　）

A．1　　　　B.　　　　C．3　　　　D.

13．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°

距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（　　）

A.nmile/hB．34nmile/h

C.nmile/hD．34nmile/h

14．在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°

，∠A＝60°

，AB＝4，AD＝5，则AC的长为（　　）

A.B．2C.D.

15．甲船在A处发现乙船在北偏东60°

的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是anmile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？

16．在△ABC中，∠A＝60°

，b＝1，S△ABC＝.求

（1）的值．

（2）△ABC的内切圆的半径长．

17．（2012·

山东文，17）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA＋tanC）＝tanAtanC.

（1）求证：

a，b，c成等比数列；

（2）若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

*18.在某海滨城市附近海面有一台风形成，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ（cosθ＝）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

受到台风侵袭的时间有多少小时？

备选题库

1．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°

角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船实际航程为（　　）

A．2kmB．6km

C．2kmD．8km

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·

＝3.

（1）求△ABC的面积；

（2）若c＝1，求a的值．

3．在△ABC中，c＝2，a>

b，C＝，且有tanA·

tanB＝6，求a、b及三角形的面积．

[分析]　已知C，可得A＋B，进而可由tan（A＋B）和tanA·

tanB求得tanA＋tanB.从而得tanA和tanB，只要求出sinA，sinB，则a，b可求．

详解答案

1[答案]　D

[解析]　由S△ABC＝AB·

AC·

sinA＝×

4×

5·

sinA＝10sinA＝6得，sinA＝，

∵A为锐角，∴cosA＝，

∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·

cosA

＝16＋25－40×

＝9，∴BC＝3，，

∵AB2＋BC2＝AC2，∴∠B为直角，

∴·

＝0，故选D.

2[答案]　C

[解析]　画出示意图如图，客船半小时行驶路程为32×

＝16nmile，∴AB＝16，

又BS＝8，∠BAS＝30°

，

由正弦定理得＝，

∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°

或135°

当∠ASB＝45°

时，∠B′BS＝75°

当∠ASB＝135°

时，∠AB′S＝15°

，故选C.

3[答案]　D

[解析]　设夹角为A，∵cosA＝，∴sinA＝，

S＝bcsinA＝14，∴bc＝35，

又b－c＝2，∴b＝7，a＝5.

4[答案]　C

[解析]　由题设a＋b＋c＝20，bcsin60°

＝10，

∴bc＝40.

a2＝b2＋c2－2bccos60°

＝（b＋c）2－3bc

＝（20－a）2－120.

∴a＝7.

5[答案]　A

[解析]　如图，设航行t小时后，甲船到达C点，乙船到达D点，问题即求CD最小时t的值．

由题设：

∠DBC＝120°

，BD＝6t.BC＝10－4t，

由余弦定理CD2＝BC2＋BD2－2BC·

BDcos120°

＝（10－4t）2＋36t2＋6t（10－4t）＝4（7t2－5t＋25）

∵，∴0<

t≤　故当t＝时，CD取最小值．容易判断，当甲船越过B岛时，甲、乙两船距离远大于CD，又×

60＝（分钟）．∴选A.

6[答案]　A

[解析]　示意图如图，∠BAC＝30°

，∠DBC＝75°

∴∠ACB＝45°

，AB＝10000.

由正弦定理＝，又cos75°

＝，

∴BD＝·

cos75°

＝2500（－1）（米）．

7[答案]　

[分析]　由于AB＝5，∠ADB＝45°

，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD的正弦值，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ACB＝30°

，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依据∠ABC与∠BAD互补确定∠BAD即可．

[解析]　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°

.

由正弦定理得，＝，

∴sin∠ABC＝＝＝.

∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°

－∠ABC，于是

sin∠BAD＝sin∠ABC＝.

在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°

，解得BD＝.

8[答案]　3

[解析]　在△ABC中，由余弦定理得，

cosC＝＝＝，

∴sinC＝.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，

∴sin∠ABC＝sinC＝.

－∠ABC，

∴sin∠BAD＝sin∠ABC＝.

∵BD为∠ABC的平分线，AD∥BC，

∴∠ABD＝∠ADB.∴AD＝AB＝3.

∴S△ABD＝AB·

ADsin∠BAD

＝×

3×

9[答案]　1.63

[解析]　设t小时后，汽车由A运动到D，摩托车由B运动到E，则AD＝80t，BE＝50t，∵AB＝200，∴BD＝200－80t.问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理得：

DE2＝BD2＋BE2－2BD·

BEcos60°

＝（200－80t）2＋2500t2－（200－80t）·

50t＝12900t2－42000t＋40000

当t＝≈1.63时，DE最小．因此应填1.63.

10[解析]　

（1）a＋b＝16，∴b＝16－a.

∴S△ABC＝absinC＝a（16－a）sin60°

＝（16a－a2）

＝－（a－8）2＋16（0<

a<

16）．

（2）当a＝8时S有最大值16.

（3）l＝a＋b＋

＝16＋

＝16＋.

∴当a＝8时，周长l有最小值24.

11[答案]　C

[解析]　

如图，由条件知，∠BAC＝50°

－20°

＝30°

，∠ABC＝65°

＋（90°

－

50°

）＝105°

∴∠ACB＝180°

－30°

－105°

＝45°

，AB＝30，

∴BC＝＝＝15，故选C.

12[答案]　B

[解析]　＝bcsinA＝b，∴b＝1，由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝.

13[答案]　A

[解析]　如图所示，在△PMN中，＝，

∴MN＝＝34，

∴v＝＝（nmile/h）．

14[答案]　B

[解析]　如图，连结AC，设∠BAC＝α，则AC·

cosα＝4，

cos（60°

－α）＝5，

两式相除得，＝，

展开解得，tanα＝，∵α为锐角，∴cosα＝，

∴AC＝＝2.

15[答案]　北偏东30°

如图，设经过th两船在C点相遇，

则在△ABC中，

BC＝at，AC＝at，B＝180°

－60°

＝120°

由＝，

得sin∠CAB＝＝＝.

∵0°

<

∠CAB<

90°

∴∠CAB＝30°

∴∠DAC＝60°

即甲船应沿北偏东30°

的方向前进，才能最快与乙船相遇．

16[解析]　

（1）∵S△ABC＝bcsinA＝c·

∴c＝4.

由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－8×

＝13，∴a＝.

由正弦定理得＝＝，故有

＝＝＝.

（2）设△ABC的内切圆圆心为M，连结MA、MB、MC，那么S△ABC＝S△MAB＋S△MAC＋S△MBC.

又点M到三边的距离均等于内切圆半径r.

∴S△ABC＝（a＋b＋c）·

r

＝（5＋）·

r＝.∴r＝－.

17[解析]　

（1）证明：

在△ABC中，由于sinB（tanA＋tanC）＝tanAtanC，

所以sinB（＋）＝·

因此sinB（sinAcosC＋cosAsinC）＝sinAsinC，

所以sinBsin（A＋C）＝sinAsinC，

又A＋B＋C＝π，

所以sin（A＋C）＝sinB，

因此sin2B＝sinAsinC.

由正弦定理得b2＝ac，

即a，b，c成等比数列．

（2）解：

因为a＝1，c＝2，所以b＝，

由余弦定理得cosB＝＝＝