人教A版数学必修四第三章测试Word下载.docx
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sin75°
的值等于（ ）
A.B.
C.D.
解析 sin15°
＝sin15°
cos15°
＝sin30°
＝×
×
＝.
答案 C
4．在△ABC中，∠A＝15°
，则sinA－cos（B＋C）的值为（ ）
C.D.2
解析 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，
sinA－cos（B＋C）
＝sinA＋cosA
＝2（sinA＋cosA）
＝2cos（60°
－A）＝2cos45°
答案 A
5．已知tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ等于（ ）
A．－B．－
解析 原式＝＝＝.
答案 D
6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析 ∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝.
7．设a＝（sin17°
＋cos17°
），b＝2cos213°
－1，c＝，则（ ）
A．c<
a<
bB．b<
c<
a
C．a<
b<
cD．b<
c
解析 a＝sin17°
＝cos（45°
－17°
）＝cos28°
b＝2cos213°
－1＝cos26°
c＝＝cos30°
∵y＝cosx在（0,90°
）内是减函数，
∴cos26°
>
cos28°
cos30°
，即b>
a>
c.
8．三角形ABC中，若∠C>
90°
，则tanA·
tanB与1的大小关系为（ ）
A．tanA·
tanB>
1B.tanA·
tanB<
1
C．tanA·
tanB＝1D．不能确定
解析 在三角形ABC中，∵∠C>
，∴∠A，∠B分别都为锐角．
则有tanA>
0，tanB>
0，tanC<
0.
又∵∠C＝π－（∠A＋∠B），
∴tanC＝－tan（A＋B）＝－<
0，
易知1－tanA·
即tanA·
1.
9．函数f（x）＝sin2－sin2是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解析 f（x）＝sin2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos
＝sin2x.
10．y＝cosx（cosx＋sinx）的值域是（ ）
A．[－2,2] B.
解析 y＝cos2x＋cosxsinx＝＋sin2x
＝＋
＝＋sin（2x＋）．∵x∈R，
∴当sin＝1时，y有最大值；
当sin＝－1时，y有最小值.
∴值域为.
11．已知θ为第二象限角，sin（π－θ）＝，则cos的值为（ ）
C．±
D．±
解析 由sin（π－θ）＝，得sinθ＝.
∵θ为第二象限的角，∴cosθ＝－.
∴cos＝±
＝±
.
12．若α，β为锐角，cos（α＋β）＝，cos（2α＋β）＝，则cosα的值为（ ）
C.或D．以上都不对
解析 ∵0<
α＋β<
π，cos（α＋β）＝>
∴0<
，sin（α＋β）＝.
∵0<
2α＋β<
π，cos（2α＋β）＝>
，sin（2α＋β）＝.
∴cosα＝cos[（2α＋β）－（α＋β）]
＝cos（2α＋β）cos（α＋β）＋sin（2α＋β）sin（α＋β）
＋×
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上）
13．若＝2012，则＋tan2α＝______.
解析 ＋tan2α＝
＝
＝＝＝＝2012.
答案 2012
14．已知cos2α＝，则sin4α＋cos4α＝________.
解 ∵cos2α＝，
∴sin22α＝.
∴sin4α＋cos4α＝（sin2α＋cos2α）2－2sin2αcos2α
＝1－sin22α＝1－×
答案
15.＝________.
解析 ∵sin（α＋30°
）＋cos（α＋60°
）＝sinαcos30°
＋cosαsin30°
＋cosαcos60°
－sinαsin60°
＝cosα，
∴原式＝＝.
16．关于函数f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x＋），则下列命题：
①y＝f（x）的最大值为；
②y＝f（x）最小正周期是π；
③y＝f（x）在区间上是减函数；
④将函数y＝cos2x的图像向右平移个单位后，将与已知函数的图像重合．
其中正确命题的序号是________．
解析 f（x）＝cos＋cos
＝cos＋sin
＝cos－sin
＝·
＝cos，
∴y＝f（x）的最大值为，最小正周期为π，故①，②正确．
又当x∈时，2x－∈[0，π]，∴y＝f（x）在上是减函数，故③正确．
由④得y＝cos2＝cos，故④正确．
答案 ①②③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量m＝，n＝（sinx,1），m与n为共线向量，且α∈.
（1）求sinα＋cosα的值；
（2）求的值．
解
（1）∵m与n为共线向量，
∴×
1－（－1）×
sinα＝0，
即sinα＋cosα＝.
（2）∵1＋sin2α＝（sinα＋cosα）2＝，
∴sin2α＝－.
∴（sinα－cosα）2＝1－sin2α＝.
又∵α∈，∴sinα－cosα<
∴sinα－cosα＝－.
∴＝.
18．（12分）求证：
证明 左边＝
＝＝
＝＝.
∴原等式成立．
19．（12分）（2010·
北京）已知函数f（x）＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
（1）求f的值；
（2）求f（x）的最大值和最小值．
解
（1）f＝2cos＋sin2－4cos
＝2×
＋2－4×
＝－1＋－2＝－.
（2）f（x）＝2（2cos2x－1）＋（1－cos2x）－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1＝32－，
∵x∈R，cosx∈[－1,1]，
∴当cosx＝－1时，f（x）有最大值6；
当cosx＝时，f（x）有最小值－.
20．（12分）已知cos＝，x∈.
（1）求sinx的值；
（2）求sin的值．
解
（1）解法1：
∵x∈，
∴x－∈，
于是sin＝＝.
sinx＝sin
＝sincos＋cossin
解法2：
由题设得
cosx＋sinx＝，
即cosx＋sinx＝.
又sin2x＋cos2x＝1，
从而25sin2x－5sinx－12＝0，
解得sinx＝，或sinx＝－，
因为x∈，所以sinx＝.
（2）∵x∈，故
cosx＝－＝－＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－.
cos2x＝2cos2x－1＝－.
∴sin
＝sin2xcos＋cos2xsin
21．（12分）（2011·
北京）已知函数
f（x）＝4cosxsin－1.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
解
（1）因为f（x）＝4cosxsin－1
＝4cosx－1
＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x
＝2sin
所以f（x）的最小正周期为π.
（2）－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
当2x＋＝时，即x＝，f（x）取得最大值2；
当2x＋＝－时，即x＝－，f（x）取得最小值－1.
22．（12分）（2011·
四川）已知函数f（x）＝sin＋cos，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）已知cos（β－α）＝，cos（β＋α）＝－，0<
β≤，求证：
[f（β）]2－2＝0.
解
（1）∵f（x）＝sin＋sin
＝sin＋sin＝2sin，
∴T＝2π，f（x）的最小值为－2.
（2）证明：
由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝，
cosβcosα－sinβsinα＝－.
两式相加，得2cosβcosα＝0，
β≤，∴β＝.
∴[f（β）]2－2＝4sin2－2＝0.
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