从复数域的发展过程谈谈您对数和数学的认识论文Word格式文档下载.docx

从复数域的发展过程谈谈您对数和数学的认识论文Word格式文档下载.docx

《从复数域的发展过程谈谈您对数和数学的认识论文Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从复数域的发展过程谈谈您对数和数学的认识论文Word格式文档下载.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1.复数的发展过程.....................................3

2.复数域内复数的四则运算..............................4

2.1复数的加法运算...................................4

2.2复数的减法.......................................4

2.3复数的乘法.......................................4

2.4复数的除法.......................................4

3.复数域内复数在复平面的三角形式......................5

3.1复平面...........................................5

3.2复数在平面内的表示...............................5

3.3复数的三角形式...................................5

3.3.1复数的三角形式...............................5

3.3.2非零复数辐角的多值性......................6

　3.3.3辐角主值....................................6

3.3.4复数三角形式的特点.............6

3.4复数的向量表示...................................7

3.5极坐标形式.......................................9

3.6复数的指数形式...................................10

4.复数域内复数在近世代数中的应用......................11

5.关于复数的扩充......................................11

6.复数域在其他领域的应用..............................15

　6.1拉普拉斯变换.....................................15

6.2根轨迹法.........................................16

6.3希尔伯特空间.....................................17

总结...................................................18

参考文献...............................................20

引言

正如大家所知道的，全体自然数、全体整数不够成域，全体有理数构成有理数域，全体实数构成实数域，全体复数构成复数域。

“复数”、“虚数”这两个名词，是人们在用公式求一元二次、三次方程的根，遇到求负数的平方根的问题时提出的。

复数域是实数域扩充的一个大域，其数学实质是使得x2+1=0在大域中有根。

1.复数的发展过程

复数从提出到证明再到推广经历了一个漫长的过程。

1545年，意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年—1576年）在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算，1572年，意大利数学家邦别利（RafaclBombclli,1525年—1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。

此后，德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年—1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年—1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年—1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。

大约在1777年，欧拉在发表的《微分公式》中第一次用i来表示-1的平方根。

1832年，德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年—1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。

高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释。

不久，人们又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用，然后，又建立了以复数为变数的“复变函数”的理论，这是一个崭新而强有力的数学分支，所以我们应该深刻认识到了“虚数不虚”的道理。

16世纪意大利米兰学者卡当（JeromeCardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。

卡当公式就是对于不完全三次方程其求根公式是：

他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

面对数系的不断扩充，直到现在最大的数域—复数域，新的问题就出来了：

是否还能在保持复数域的基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？

对于在复数域的发展过程中对数与数学的认识我们从以下几个方面来认识和理解。

2.复数域内复数的四则运算

设，是任意两个复数，我们规定：

2.1复数的加法运算

复数的加法运算法则：

复数的加法运算律：

结合律：

交换律：

2.2复数的减法

复数减法是加法的逆运算，复数的减法运算法则：

2.3复数的乘法

复数的乘法运算法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设，是任意两个复数，那么它们的积

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换

成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

乘法运算律：

（1）

（2）

2.4复数的除法

复数除法定义：

满足的复数叫做复数

除以复数的商，记为：

或者

除法运算规则：

设复数，除以，其商为，

即

∵

∴

3.复数域内复数在复平面的三角形式

3.1复平面

借助于横坐标为x、纵坐标为y的点来表示复数，x轴的叫实轴

y轴上的非原点的点对应着纯虚数，故y轴称为虚轴，这样表示复数z的平

面称为复平面。

3.2复数在平面内的表示

在复平面上表示出复数z=a+bi所对应点和所对应的向量.

3.3复数的三角形式

3.3.1复数的三角形式

定义：

复数表示成的形式叫复数

三角形式，其中为复数的辐角

因为：

；

所以：

其中，，

把叫复数的三角形式

叫复数的代数形式

3.3.2非零复数z辐角θ的多值性。

　以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数

的辐角，因此复数z的辐角是

　3.3.3辐角主值

　　　定义：

适合的角θ叫辐角主值

　　　表示法；

用表示复数z的辐角主值。

唯一性：

复数z的辐角主值是确定的，唯一的。

3.3.4复数三角形式的特点：

（1）；

（2）同角即是相同的；

（3）中间用加号连接；

（4）前余后正。

3.4复数的向量表示

　在复平面内与复数、对应的点分别为、（如图）

向量对应于

与复数对应的向量

显然

则

例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:

（1）　

（2）　　

　　　分析:

由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可

按照如下步骤进行:

首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），

其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点

→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问

题的正确率.

解:

（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:

复平面上在第三象限（假定θ为锐角），余弦“”

已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换

到第三象限.

（2）由“加号连”知，不是三角形式（加号连就是cos和sin中间

　　是加号连接的），复平面上点在第四象限（假定θ为

锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式

“”或“”将变换到第四象限.

或

　　考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.

小结:

对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于

初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，

应能够很好地解决此类问题。

　例2．求复数的模与辐角主值.

分析:

式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因

此可利用三角公式消“1”

解：

=……