人教版初中数学九年级第二十七章相似习题含答案Word文档下载推荐.docx

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连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC=12，

∴8＜BC＜16．

【解题策略】将证转化为证明△CDE∽△CAB.

专题2乘积式或比例式的证明

【专题解读】证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证，可设法证，，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。

例2如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证．

分析欲证，可将其分成三个比例式，，，再将三式相乘即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了．

证明：

延长FG交AB于K，连接DK，

∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC，∴EF＝CF．

∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，

∴Rt△FDC≌Rt△EKF，

∴KF＝DC，∠3＝∠4，

∴四边形KFCD是平行四边形，∴∠2＝∠5，

∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°

，

∴DK⊥AB，

∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，

∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴．①

∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴．②

在△ABD中，∠ADB＝90°

，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．

又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴．③

由①×

②×

③，得．

例3如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

4，求证.

分析原式等价于＝1，也就是，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证即可．

∵∠A：

∠C＝1：

4，

∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x

作CE平分∠BCA，交AB于E，

在AC边上取一点D，使CD＝CB，连接DE，

∴△DCE≌△BCE，

∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x，

又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE，

又∵DE＝EC，∴AD＝CE．

在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2x，

∴△ABC∽△ACE，∴，

即，

∴,∴=1

即.

二、规律方法专题

专题3：

相似三角形的性质

【专题解读】相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别（或构造）相似三角形的基本图形．

例4如图27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长为（）

A．8cmB．12cm

C．11cmD．10cm

分析由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，．因为，所以,所以．因为DE=4cm，所以BC=12cm故选B.

例5如图27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°

，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.

（1）求∠EDB的度数；

（2）求DE的长．

分析

（1）由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝∠ABC，可求∠EDB．

（2）由DE∥BC，得△ADE△ACB，则，再证出BE＝DE，可求DE．

解：

（1）∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABC＝×

80°

＝40°

，∴∠EDB＝40°

．

（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，

∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，

∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，

∴.

∴，∴DE=6cm

【解题策略】将比例式中的AE转化为AB－DE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解．

例6如图27－101所示，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求证△ABC∽△FDE．

分析由已知可证∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，从而可证△ABC∽△FDE．

∵FD∥AB，FE∥AC，

∴∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，

∴△ABC∽△FDE．

例7（08·

无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD．

分析由矩形的性质可知∠BAD＝∠D＝90°

，再由BF⊥AE可证∠AFB＝∠D和∠DAE＝∠FBA，从而证明△ABF∽△EAD．

在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D=90°

∵BF⊥AE，∴∠AFB＝∠D＝90°

∴∠ABF+∠BAE＝90°

又∵∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°

∴∠ABF＝∠EAD，

∴△ABF∽△EAD，

三、思想方法专题

专题4分类讨论思想

【专题解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题．

例8在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有条．

分析如图27－103所示，过点D作AB的平行线，或过点D作DF∥BC，或作∠CDH＝∠B，或作∠ADG＝∠B，故填4．

专题5建模思想

【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．

例9如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A，B间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A，B间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CD＝a，由此他知道A，B间的距离是（）

A．aB．2aC．aD．3a

分析∵D，C分别为OB，OA的中点，∴CD是△ABO的中位线，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2a．故选D．

【解题策略】此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决．

例10如图27－105所示，九年级

（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1．6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．

分析利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长．

因为CD⊥FB，AB⊥FB，所以CD∥AB，

所以△CGE∽△AHE，所以，

即，

所以，解得AH＝11．9，

所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．

故旗杆AB的高度为13．5m．

专题6转化思想

【专题解读】本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．

例11如图27－106所示，已知E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F．求证BO2＝OF·

OE．

分析要证BO2＝OF·

OE，只需证，而OB，OE，OF在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证△AOF∽△COB和△AOB∽△COE，即有，，从而得证．

在ABCD中，AB∥CE，AD∥BC，

∴△AOF∽△COB，△AOB∽△COE，

∴，，

∴，

∴OB2＝OF·

例12在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）

A．8，3B．8，6C．4，3D．4，6

分析由AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，得△ABC∽△DEF，且相似比为2，则，所以S△DEF＝＝3，△DEF的周长为＝8．故选A．

例13已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：

25，则△ABC与△DEF的相似比为．

分析利用相似三角形的性质求解．故填2：

5．

例14已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC：

S△A′B′C′＝1：

2，则AB：

A′B′＝．

分析根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S△ABC：

2，得AB：

A′B′＝1：

.故填1：

.

2011中考真题精选

1.（2010广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（　　）

考点：

相似图形

分析：

根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．

解答：

∵图中的箭头要缩小到原来的，∴箭头的长、宽都要缩小到原来的；

选项B箭头大小不变；

选项C箭头扩大；

选项D的长缩小、而宽没变．故选A．

点评：

本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．

2.（2011，台湾省，22,5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？

（　　）

舞蹈社

溜冰社

魔術社

上學期

3

4

5

下學期

2

A、舞蹈社不变，溜冰社减少B、舞蹈社不变，溜冰社不变

C、舞蹈社增加，溜冰社减少D、舞蹈社增加，溜冰社不变

比例的性质。

专题：

计算题。

若甲：

乙：

丙=a：

b：

c，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．

由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：

=

∴舞蹈社增加，溜冰社不变．

故选D．

本题考查了比例的性质：

两内项之积等于两外项之积．

3.（2011，台湾省，33,5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？

A、1：

2B、2：

C、2：

5D、4：

9

相似多边形的性质。

根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解．

∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：

FC=2：

∴AD：

EF=EF：

BC=2：

3⇒AD：

EF：

BC=4：

6：

9．

本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键．

4.（2011贵州毕节，7，3分）两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为（）

A．48cmB．54cmC．56cmD．64cm

根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．

两个相似多边形的面积比是9：