线性方程组解法课件Word文件下载.docx

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以构造向量迭代格式

用算出的向量迭代序列去逼近解。

1.构造原理

1）Jacobi迭代法

（1）将线性方程组（3.4）的第i个变元用其他n-1个变元表出，可得

（3.5）

称（3.5）为不动点方程组。

（2）将（3.5）式写成迭代格式（Jacobi迭代格式）:

（3.6）

（3）取定初始向量，代入，可逐次算出向量序列，这里。

2）Seidel迭代法

Seidel迭代格式:

Seidel迭代并不能取代Jacobi迭代!

3）Sor法

用Seidel迭代算出的与相减得到差向量

采用加速技术做下一步迭代：

得Sor法的迭代格式

式中参数ω称为松弛因子，可以任意选取，当ω=1时，Sor法就是Seidel迭代法。

例如对线性方程组

先将其写成不动点方程组

Jacobi迭代

Seidel迭代

由

得Sor迭代

2.迭代分析及向量收敛

1）三种迭代法的向量迭格式

对Ax=b，将系数矩阵A作如下分解

则Ax=b可以写成

假设存在，得Ax=b的等价方程组

由此可得到

●Jacobi迭代的向量迭代格式

引入符号，，则有

称为Jacobi迭代矩阵。

类似的，有

●Seidel向量迭代格式

，。

称为Seidel迭代矩阵。

●Sor法的向量迭代格式

称为超松弛迭代矩阵。

三种迭代格式可用一个迭代格式

2）向量收敛定义

定义3.1设向量序列及向量都是中的向量，如果有

成立,则称收敛于。

简记为

。

3）范数定义与科学计算中的常用范数

定义3.2设L是数域K上的一个线性空间，如果定义在L上的实值函数满足

1），有,且；

2），有；

3），有,

则称是L上的一个范数，称为x的一个范数。

范数的定义很象绝对值函数，故常用或表示范数，而范数常记为或。

这样，上面范数定义中的3个条件常写为

3），有

将其与绝对值比较，是否很象？

实际上，很多有关绝对值的运算和结论可以平行引进到有关范数的运算和证明问题中。

数值分析中常用的线性空间有

●n维向量空间

●矩阵空间

连续函数空

函数空间是由闭区间上所有连续函数组成的集合，其线性运算定义为

加法

数乘，为数

在这些空间上，数值分析中常用的范数有

（1）的向量范数

1）

2）

3）

式中向量。

（2）的矩阵范数

矩阵范数要满足如下四条

1），有,且；

4），有（相容性）

与向量范数做对比

由于线性方程组求解问题中，系数矩阵总是与向量联系在一起的，为描述这种联系，引入如下的算子范数概念。

定义3.3设矩阵，称

为矩阵A的算子范数。

容易证明，矩阵A的算子范数也是矩阵范数，且满足不等式关系

.

例：

设为矩阵的算子范数，证明若，则为非奇异矩阵，且

证：

用反证法。

若为奇异矩阵，则其对应的方程组

有非零解，即有，使，得出

两边取范数并作范数运算

，矛盾，得非奇异。

常用的矩阵范数有如下4种

1）列范数：

2）行范数：

3）F范数：

4）2范数：

，是最大特征值。

以上4个矩阵范数中，是算子范数，不是算子范数。

3）范数等价与向量极限

定义3.4设是线性空间L上的两个范数，若存在正常数m和M，成立

则称范数是等价范数。

定理3.1上的所有范数都是等价的。

定理3.2。

式中是上任何一种范数。

4）谱半径及其与范数的关系

定义3.5设，是A的n个特征值，则称实数

为矩阵A的谱半径。

注意如果是复数，表示复数模。

定理3.3设为任意算子范数，则有

证明设是A的任意一个特征值，为对应的特征向量，则有

取范数，得

因为，上式同除，得

由k的任意性可得。

3.迭代法的收敛条件与误差估计

1）收敛条件

定理：

线性迭代格式对任意初始向量都收敛的充要条件是迭代矩阵谱半径。

引理3.4设，则

证明必要性

设，在中令，得，两式相减并把k+1记为k，得

由及的任意性，有。

再由引理，可得。

充分性

因为，则有I-B非奇异（这里I为单位矩阵），从而线性方程组有唯一解，即有

展开有。

类似必要性处理，有

由引理，由有，上式取极限，得。

谱半径一般不易计算，因此充要条件收敛定理通常只用在理论上。

但由该定理，可以得到如下易于计算的判别迭代收敛条件，要注意它们都是充分条件！

●判别条件Ⅰ

若，则迭代格式对任意初始向量都收敛于线性方程组

的唯一解。

是矩阵B的某种算子范数。

定义3.6设，

1）如果A的主对角元素满足

（3.17）

则称矩阵A是严格行对角占优阵；

2）如果A的主对角元素满足

（3.18）

则称矩阵A是严格列对角占优。

严格行对角占优阵和严格列对角占优阵统称为严格对角占优阵。

定理严格对角占优阵是非奇异矩阵。

证明

不妨设矩阵是严格行对角占优阵。

用反正法。

若A是奇异的，则由矩阵理论可知，齐次线性方程组有非零解，即存在，满足。

记，有

将的第m个等式写为

等式两边取绝对值有

因为，上式同除，有

此与A是严格行对角占优阵矛盾。

故若A是非奇异的。

●判别条件Ⅱ

设矩阵A是严格对角占优阵，则线性方程组的Jacobi迭代和Seidel迭代对任意初始向量都收敛。

●判别条件III

设A是对称正定矩阵，则的Seidel迭代对任意初始向量都收敛。

判别条件II的证明

证明只对A是行对角占优情况证之。

设矩阵A是严格行对角占优阵，则有

，

Jacobi迭代矩阵，故有

由判别条件Ⅰ，可得Jacobi迭代的收敛性。

对Seidel迭代，其迭代矩阵，设是矩阵的任一特征值，则有特征方程

因，故矩阵的特征方程变为

这个行列式方程对应的矩阵

如果，利用矩阵A的行对角占优定义，可以得出如下不等式

这说明矩阵也是行严格对角占优阵，由定理，有。

矛盾，故应有成立。

由的任意性有谱半径，于是可得Seidel迭代的收敛性。

定理3.7Sor法收敛的必要条件是松弛因子ω满足0<

ω<

2。

证明因为Sor法的迭代矩阵为

有

设是的n个特征值，则有

，若Sor收敛，必有，注意到，得

解之得。

2）误差估计

定理3.8设矩阵B的某种矩阵范数，则由式算出的序列与线性方程组的准确解有如下的误差估计

1）事后估计式

2）事先估计式

证明可以参照非线性方程求根定理的证明，注意将那里的绝对值换成这里的范数，那里的函数换成这里的矩阵，并注意范数关系的使用即可。

例3.1用Jacobi迭代法解线性方程组

5x1+2x2+3x3=-12

x1+4x2+2x3=20

2x1-3x2+10x3=3

要求误差

解本题的Jacobi迭代格式为

它的Jacobi迭代矩阵为。

因为，故本题的Jacobi迭代格式对任意初值都收敛。

取初值进行迭代计算如下

故所求近似解为。

（准确解为）

例3.2已知方程组

1）写出Jacobi和Seidel迭代格式；

2）判别两种迭代格式的收敛性。

解1）

Jacobi迭代格式为

Seidel迭代格式为

2）要判别收敛性，由于本题不能由范数及矩阵本身特性判定，只能用谱半径判别。

由

得的特征根，于是，故本题Jacobi迭代收敛。

对Seidel迭代，由

得的特征根，所以有

，故本题Seidel迭代发散。

3.4线性方程组的直接解法

解线性方程组的直接法有Gauss消元法，LU分解法及一些特殊线性方程组的解法等，其中Gauss消元法是直接法的基础。

本章的重点是在一般公式推导上，要注意学习和体会。

1.Gauss消元法

基本思想

先将线性方程组通过消元方法化为同解的上三角方程组，然后从该三角方程组中按第n个方程、第n-1个方程、…、第1个方程的顺序，逐步回代求出线性方程组的解。

1）构造原理

Gauss消元法的求解过程分为两个:

“消元”：

把原方程组化为上三角方程组；

“回代”：

求上三角方程组的解。

为推导公式的方便，记要求解的原方程组为

（3.22）

Gauss消元法的算法构造如下

一、消元过程

1）设,令乘数,做（消去第i个方程组的x1）操作

第1个方程+第i个方程

（i=2,3,…,n）

则第i个方程变为

这样消去第2，3，…，n个方程的变元x1后，

原线性方程组（3.22）变为

（3.23）

式中的计算公式为

（3.24）

这样就完成了第1步消元。

2）对线性方程组（3.23）中由第2，3，…，n个方程组成的n-1元线性方程组做同样的处理，可得到第2步消元后的线性方程组

（3.25）

3）由（3.24）与（3.25）系数计算规律，得第k步消元过程的计算公式

（3.26）

当做到第n-1步消元后，就完成了Guass消元过程，得到上三角方程组

（3.27）

二、回代过程

1）在方程组（3.27）的最后一个方程中解出，得

2）将的值代入（3.27）的倒数第2个方程，再解出，得

3）依次回代，得计算的公式为

当时，就完成了回代过程，从而完成了Gauss消元法的全过程，得到所求解。

要注意的是，计算公式中分母不能为零，于是可以得到如下Gauss消元法计算公式。

三、Gauss消元法计算公式

1.对，计算

2.对，计算

2）分析

（1）Gauss