轨迹方程交轨法Word格式.docx
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y=k1x+1,l2:
y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
（Ⅰ）证明l1与l2相交;
（Ⅱ）证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
2.（2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题）己知常数a>
0,向量p=（1,0）,q=（0,a）,经过定点M（0,-a）,方向向量为λp+q的直线与经过定点N（0,a）,方向向量为p+2λq的直线相交于点R,其中λ∈R.
（Ⅰ）求点R的轨迹方程;
（Ⅱ）设a=
过F（0,1）的直线l交点R的轨迹于A、B两点,求
的取值范围.
二.平几形式
例2:
（2013年福建高考试题）如图,在正方形OABC中,y
O为坐标原点,点A的坐标为（10,0）,点C的坐标为（0,CB
10）,分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,Bi
…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBiB1
交于点Pi（i∈N+,1≤i≤9）.OA1AiAx
（Ⅰ）求证:
点Pi（i∈N+,1≤i≤9）都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;
（Ⅱ）过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点M、N,若△OCM与△OCN的面积比为4:
1,求直线l的方程.
（Ⅰ）因Bi（10,i）
直线OBi:
y=
x;
直线AiPi:
x=i
Pi（i,
）
点Pi（i∈N+,1≤i≤9）在抛物线E:
x2=10y上;
（Ⅱ）设M（x1,y1）,N（x2,y2）,直线l:
y=kx+10;
由
x2-10kx-100=0
x1+x2=10k,x1x2=-100;
因△OCM与△OCN的面积比为4:
1
|x1|=4|x2|（x1x2<
0）
x1=-4x2
-3x2=10k,-4x22=-100
k=
直线l的方程:
x+10.
1.（1983年全国高考副题）如图,在直角坐标系中,己知矩形OABC的边y
长OA=a,CO=b,点D在AO的延长线上,OD=a,设M、N分别是OC、BCCNB
边上的动点,使OM:
MC=BN:
NC≠0,求直线DM与AN的交点P的轨迹方MP
程,并画出图形.DOAx
22第六讲:
轨迹方程.交轨法
2.（2003年大纲卷高考试题）己知常数a>
0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,y
O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且
DFC
P为CE与OF的交点（如图）问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的GPE
和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;
若不存在,请说明理由.AOBx
三.解析条件
例3:
（2004年全国高中数学联赛山东预赛试题）设A1、A2是椭圆
+
=1（a>
b>
0）长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是.
设点P1的坐标为（m,n）,则有P2（m,-n）,A1P1所在直线的方程为y=
（x+a）,A2P2所在直线的方程为y=
（x-a）,两式相乘,并利用
=1消去m、n有
-
=1.
1.（1990年上海高考试题）己知点P在直线x=2上移动,直线l过原点且与OP垂直,通过点A（1,0）及点P的直线m与直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.
2.（1986年全国高考试题）已知两点P（-2,2）,Q（0,2）以及一条直线:
L:
y=x,设长为
的线段AB在直线L上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.（要求把结果写成普通方程）.
四.曲线条件
例4:
（2012年辽宁高考试题）如图,
动圆C1:
x2+y2=t2,1<
t<
3,与椭圆C2:
+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,
A2分别为C2的左,右顶点.
（Ⅰ）当t为何值时,矩形ABCD的面积取
得最大值并求出其最大面积;
（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
（Ⅰ）设D（x0,y0）（x0>
0,y0>
0）,则
+y02=1,矩形ABCD的面积S=4x0y0
S2=16x02y02=16x02（1-
）=-
（x02-
）2+36,
当x02=
时,S取得最大值6,此时,y02=
t2=x02+y02=
=5
t=
;
（Ⅱ）由A1（-3,0）,A2（3,0）,设A（a,b）,则B（a,-b）,且
+b2=1;
直线AA1:
（x+3）,A2B:
y=-
（x-3）,两式相乘得:
y2=
（x2-9）
-y2=1;
由-3<
a<
0,0<
b<
x<
-3,y<
M的轨迹方程:
-y2=1（x<
0）.
1.（2010年广东高考试题）已知双曲线
-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P（x1,y1）,Q（x1,-y1）是双曲线上不同的两个动点.
（Ⅰ）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式;
（Ⅱ）若过点H（O,h）（h>
1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,l1求h的值.
2.（2012年江苏高考试题）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
0）的左、右焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）.
轨迹方程.交轨法23
已知（1,e）和（e,
）都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的离心率;
（Ⅱ）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线
BF2平行,AF2与BF1交于点P.
（i）若AF1-BF2=
求直线AF1的斜率;
（ii）求证:
PF1+PF2是定值.
五.动弦上点
例5:
（2005年全国高中数学联赛山东预赛试题）如图,y
过原点O作抛物线y2＝2px（p>
0）的两条互相垂直的弦A
OA、OB,再作∠AOB的平分线交AB于C.OCx
求点C的轨迹方程.B
设A（2pa2,2pa）（a>
0）,B（2pb2,2pb）（ab≠0）,由OA⊥OB
ab=-1
=
=|a|3,由OC平分∠AOB
=|a|3
设C（x,y）,则x-2pa2=a3（2pb2-x）,y-2pa=a3（2pb-y）
x=
y=
a=
y[1+
（
）3]=2p
+1）
y（x2+3y2）=2p（x2-y2）.
1.（2008年北京、安徽春招试题）设点A和B为抛物线y2=4px（p>
0）上原点以外的两个动点,己知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
2.（2007年天津高考试题）设椭圆C:
0）的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为
|OF1|.
（Ⅰ）证明:
b;
（Ⅱ）设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.
六.动弦交点
例6:
（2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题）设点A（-1,0）,B（1,0）,C（2,0）,yP
D在双曲线x2-y2=1的左支上,D≠A,直线CD交双曲线x2-y2=1的右支于点E,求证:
直线AD与BE的交点P在直线x=
上.ABCx
设D（x1,y1）（x1<
0）,E（x2,y2）（x2>
0）,直线DE:
y=k（x-2）;
D
（1-k2）x2+4k2x-4k2-1=0（k≠
1）
x1+x2=
x1x2=
x1+x2=4+
（x1+x2）-1,
x1x2=
=（x1+x2）+
（x1+x2）-1=
（x1+x2）-1;
直线AD:
（x+1）=
（x+1）,直线BE:
（x-1）=
（x-1）
直线AD与BE交点P的横坐标x满足:
）x=-（
24第六讲:
x=-
=-
.
1.（2011年四川高考试题）（文）过点C（0,1）的椭圆
（a>
0）的离心率为
椭圆与x轴交于两点A（a,0）,
B（-a,0）,过点C的直线l与椭圆交于另一点y
D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于C
点Q.
（Ⅰ）当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
BOPAx
（Ⅱ）当点P异于点B时,求证:
为定值.DQ
2.（2011年四川高考试题）（理）椭圆有两顶y
点A（-1,0）、B（1,0）,过其焦点F（0,1）的直线lD
与椭圆交与C、D两点,并与x轴交于点P.直线C
AC与直线BD交于点Q.AOBPx
（Ⅰ）当|CD|=
时,求直线l的方程;
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时,求证:
为定值.
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