机电高级工班数学微分积分及其应用教案Word格式文档下载.docx
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新授课
教学方法
讲练结合
教具
一.课题提出
用夹板锤锻造工件时,锤头上、下运动打击工件,使其发生塑性变形,求锤头下落时,在任一时刻t0的速度v(t0)。
课题分析
该问题属于变速直线运动的速度问题。
锤头所作的是其速度v随着时间t的变化而变化的变速直线运动(自由落体运动),即v=v(t),这样问题转化为:
怎样求在任意时刻t处质点的速度v(t)?
设描述锤头运动位置的函数为
则到的平均速度为
当Δt→0,即t→t0时,质点在时间段Δt内的平均速度就无限地趋近于该质点在时刻处的瞬时速度,这时我们就称v(t0)为在t→t0时的极限。
二.讲授新课.
1.极限的定义
对于函数y=f(x),如果当自变量(或x→∞,即其绝对值趋于无穷)时,函数y=f(x)能无限地趋近于一个确定的常数A,即f(x)→A,则称当(或x→∞)时,函数f(x)以A为极限,或f(x)的极限存在。
记作
2.导数的定义
设函数y=f(x)的自变量x变化到x+△x,相应的函数值y=f(x)变化到y=f(x+△x)
若
存在,则称函数在点处可导
并称此极限为在点X处的导数。
记作:
或
即
用导数的定义求导数
步骤:
1.
2.
3.
三,例:
(课本P3)
四.导数的实际意义
1.导数的物理意义
导数的实际意义:
函数在某一点的变化率。
2.导数的几何意义
如课本P4:
如果割线PQ绕点P旋转而趋向极限位置PT,直线PT就称为曲线C在点P处的切线。
五,课堂练习.(课本P7)
六,小结.
本节课我们主要学习了导数的概念,同学们要多看课本,多做练习巩固。
七,课后作业.(练习册)
广西轻工高级技工学校
课题二.导数的运算
(一)
1.熟练掌握导数的基本公式、运算法则和复合函数的求导法则;
导数的基本公式、运算法则和复合函数的求导法则
复习回顾,上次课我们主要学习了导数的概念,同学要认真巩固。
一,课题提出
半径为r的主运动轮以等角速度ω旋转时,长为l的连杆AB就带动滑块H在槽内水平往返运动,若运动从=0开始,求滑块H在任意时刻的位移s=s(t)及其速度v=v(t)。
课题分析:
因为由几何关系可知
所以
二,讲授新课。
1.导数的基本公式
(1).常函数的导数(c为常数)
(2).幂函数的导数(n为实数)
(3).对数函数的导数
(4).指数函数的导数
(5).三角函数的导数
(6).反三角函数的导数
2.导数的四则运算法则
若函数u(x)、v(x)在点x处可导,则
3.复合函数及其求导法则
(1).复合函数的定义
设函数,若x在某一区间上取值时,与其对应的能使得有意义,则称y是x的复合函数。
记作:
其中u叫做中间变量。
叫做由复合而成的复合函数。
(2).复合函数的求导法则
如果函数在点x处有导数,而y=f(u)在对应点u处有导数,则复合函数
在点x处也有导数,且其导数为
(3)例:
课本P11
三,小结
本次课我们主要学习了导数的基本公式、运算法则和复合函数的求导法则;
二阶导数的概念;
同学们要懂得运用导数解决实际问题。
四,课后作业。
练习册
课题二.导数的运算
(二)
1.理解二阶导数的概念;
2.能够运用导数解决实际问题。
运用导数解决实际问题
新授课与讲评练习课
复习回顾。
上次我们主要学习了导数的基本公式、运算法则和复合函数的求导法则;
懂得运用导数解决实际问题。
一,讲授新课,
1.二阶导数
如果函数的导函数仍是
的可导函数,就称的导数为函数
的二阶导数,记作
或
例,课本P12
二,讲评练习册课题二。
课题三.利用导数作图
(一)
1.能够运用导数判定函数单调性、极值;
运用导数判定函数单调性、极值;
上次课我们主要学习了二阶导数的概念,以及复习了导数的基本公式、运算法则和复合函数的求导法则,同学们要多加巩固。
一,讲授新课,
课题提出
作函数的图形
要准确、快速地描绘函数的图象,我们应知道函数的特征,如定义域、对称性、周期性等,光有这些还不够,还要知道函数的单调区间和凹凸区间。
导数的实质是反映函数对自变量的变化率。
因此,可以利用导数这个工具来揭示函数的特征,进而快速而又准确地描绘出函数的图形。
1、函数的单调性
对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,
(1)若f(x1)<
f(x2),那么f(x)在这个区间上是增函数.
(2)若f(x1)>
f(x2),那么f(x)在这个区间上是减函数.
2.函数单调性的判定定理
设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,在区间(a,b)内
(1)若,则f(x)在(a,b)内单调增加;
(2)若,则f(x)在(a,b)内单调减少。
例如,
注意:
函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性。
3.函数的极值
如果函数y=f(x)在点及其附近有定义,且对附近的所有点
◆函数的极大值与极小值统称为极值。
(极值即峰谷处的值------不一定最大或最小)
函数极值的求法
可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点,但函数的驻点却不一定是极值点。
例题。
课本P16
二,课堂练习:
课本P22,1。
(1)
三,小结。
本次课我们主要学习了导数如何判定函数单调性、极值;
同学们要多做练习巩固。
练习册。
课题三.利用导数作图
(二)
理解函数的凹凸性与拐点的概念,熟练地运用导数判定函数的凹凸性;
函数的凹凸性与拐点的概念
上次课我们主要学习了导数如何判定函数单调性、极值;
一,讲授新课。
函数的凹凸性与拐点
定义:
若在某区间内,曲线y=f(x)上的每一点(除切点外)都位于其切线的上(下)方,则称曲线y=f(x)在该区间内是凹(凸)的弧,曲线y=f(x)凹凸弧的分界点,称为该曲线的拐点。
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导,则可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性。
设函数y=f(x)在(a,b)内存在二阶导数。
(1)若在(a,b)内,则曲线弧y=f(x)在(a,b)上为凹的。
(2)若在(a,b)内,则曲线弧y=f(x)在(a,b)上为凸的。
例题:
课本P18-19
二,课堂练习.P22
三,小结,本次课我们主要学习了函数的凹凸性与拐点的概念,以及它们的求法.
四,课后作业.练习册
课题三.利用导数作图(三)
1.会求函数的最大值,最小值.
2.能够运用导数相关知识解决实际问题。
用导数相关知识解决实际问题
习题课
1.复习回顾
上次课我们主要学习了函数的凹凸性与拐点的概念,以及它们的求法.
2.,.讲解课本P20-22的例题.
3.讲评习题册P6-10的习题.
课题四.微分
1.理解函数微分的概念、导数与微分的关系;
2.掌握微分的基本公式和运算法则;
3.能够运用微分的相关知识解决实际问题。
微分的基本公式和运算法则
讲授课
圆形金属薄片受热后半径改变为
求其面积的改变量?
课题分析
因为圆的面积公式
1.微分的概念
设函数y=f(x)在点处的增量可以表示为(α可以忽略不计)的形式时,我们就说函数在点处可微,并把称为函数在点处的微分。
dy或
2.微分的运算
求法:
先计算函数的导数,再乘以自变量的微分。
3.微分基本公式
4.微分运算法则
设u(x),v(x)均可微,则
5例题。
课本P26-27
二,课堂练习。
P271。
2。
3。
4。
三,小结.
本次课我们主要学习了函数微分的概念、导数与微分的关系;
微分的基本公式和运算法则;
同学们要能够运用微分的相关知识解决实际问题。
课题五.曲率
1.理解曲率半径及曲率的概念,掌握曲率及曲率半径的计算公式;
2.掌握有关曲率中心以及曲率圆的概念与计算公式;
3.能够运用曲率的相