高中数学 第2章 推理与证明章末复习课学案 苏教版选修12Word文件下载.docx

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由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理．简言之，演绎推理是由________到________的推理．

2．“三段论”是演绎推理的一般模式

（1）大前提——已知的____________；

（2）小前提——所研究的____________；

（3）结论——根据一般原理，对____________做出的判断．

知识点三　直接证明

1．综合法

从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．

（2）推证过程：

⇒…⇒…⇒

（3）思维过程：

由因导果．

2．分析法

从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法．

⇐…⇐…⇐

执果索因．

知识点四　间接证明

用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）．

类型一　归纳思想

例1　已知数列{an}满足a1＝1，＝（n＝1,2，3，…）．

（1）求a2，a3，a4，a5，并猜想通项公式an；

（2）根据

（1）中的猜想，有下面的数阵：

S1＝a1，

S2＝a2＋a3，

S3＝a4＋a5＋a6，

S4＝a7＋a8＋a9＋a10，

S5＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15.

试求S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，并猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的值．

反思与感悟　归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉．具有共同特征的归纳推理，首先要观察式子的共同结构特点，其次是式子中出现的数字、字母之间的关系，这样便于观察运算规律和结构上的共同点．

跟踪训练1　设{an}是集合{2t＋2s|0≤s≤t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，且a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，….

将数列{an}中的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：

（1）写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；

（2）求出a100.

类型二　类比思想

例2　定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫该数列的公和．已知数列{an}为等和数列，且a1＝2，公和为5.那么a18的值为______，这个数列前n项和Sn的计算公式为_______________________．

反思与感悟　事物的各个性质之间不是孤立的，而是相互联系相互制约的，等和数列与等差数列之间有着很多类似的性质，利用类比推理可得出等和数列的性质．

跟踪训练2　已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝________.

类型三　正难则反思想

例3　已知△ABC中，∠C是直角，求证：

∠B一定是锐角．

反思与感悟　反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后推出矛盾，这里得出的矛盾可以是与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反证法的使用范围：

唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问题．

跟踪训练3　证明：

无论x，y取任何非零实数，等式＋＝总不成立．

类型四　综合法与分析法

例4　已知x，y>

0，x＋y＝1，求证：

log2（x2y2＋1）－log2x－log2y≥log217－2.

反思与感悟　证明问题时，往往利用分析法寻找解题思路，用综合法书写证明过程．

跟踪训练4　求证：

－2cos（α＋β）＝.

1．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：

第一组含一个数{1}；

第二组含两个数{3,5}；

第三组含三个数{7,9,11}；

第四组含四个数{13,15,17,19}；

…，则每组内各数之和f（n）（n∈N*）与组的编号数n的关系式为____________．

2．已知△ABC中，AD⊥BC于D，三边是a，b，c，则有a＝ccosB＋bcosC；

类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：

四面体P—ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角P—AB—C，P—BC—A，P—AC—B的度数分别是α，β，γ，则S＝______________________.

3．将下列给出的反证法证明过程填写完整．

已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且仅有一个根．

证明　由于a≠0，因此方程ax＝b至少有一个根x＝.

假设方程不止一个根，不妨设x1，x2是____________，即ax1＝b，ax2＝b，所以a（x1－x2）＝0，因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以a＝0，这与________矛盾，故假设错误．

所以当a≠0时，关于x的方程ax＝b有且仅有一个根．

4．若tan（α＋β）＝2tanα，求证：

3sinβ＝sin（2α＋β）．

直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：

综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；

分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．

答案精析

问题导学

知识点一

1．

（1）一般性　实验、观察　概括、推广　猜测一般性结论

（2）部分　个别

2．

（1）观察、比较　联想、类推　猜测新的结论　

（2）特殊　特殊

3．已有的事实　正确的结论　实验和实践的结果　经验　归纳推理　类比推理

知识点二

1．一般　特殊

2．

（1）一般原理　

（2）特殊情况　（3）特殊情况

题型探究

例1　解　

（1）因为a1＝1，由＝知an＋1＝·

an，故a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5.

可归纳猜想出an＝n（n∈N*）．

（2）根据

（1）中的猜想，数阵为：

S1＝1，

S2＝2＋3＝5，

S3＝4＋5＋6＝15，

S4＝7＋8＋9＋10＝34，

S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，

故S1＝1＝14，S1＋S3＝1＋15＝16＝24，S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34.

可猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.

跟踪训练1　解　

（1）第1行：

3＝21＋20；

第2行：

5＝22＋20,6＝22＋21；

第3行：

9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；

由此归纳猜想：

第4行：

24＋20＝17,24＋21＝18,24＋22＝20,24＋23＝24；

第5行，25＋20＝33,25＋21＝34,25＋22＝36,25＋23＝40,25＋24＝48.

故第4行各数依次为17,18,20,24；

第5行各数依次为33,34,36,40,48.

（2）每行中数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，……，由≤100（n∈N*），得n≤13.故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91（个）数．

因此，a100应当是第14行中第9个数，所以a100＝214＋28＝16384＋256＝16640.

例2　3　Sn＝

解析　∵{an}是等和数列，a1＝2，公和为5，

∴a2＝3，则a3＝2，a4＝3，知a2n＝3，a2n－1＝2（n∈N*）．

∴a18＝3，数列{an}形如：

2,3,2,3,2,3，….

∴Sn＝

跟踪训练2　

解析　根据三棱锥的体积公式，

得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，

即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，

H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.

例3　证明　假设∠B不是锐角，则∠B≥90°

，

因此∠C＋∠B≥90°

＋90°

＝180°

这与三角形的内角和等于180°

矛盾．

所以假设不成立．

从而∠B一定是锐角．

跟踪训练3　证明　设存在非零实数x1，y1，

使等式＋＝成立，

则有y1（x1＋y1）＋x1（x1＋y1）＝x1y1，

∴x＋y＋x1y1＝0，

即（x1＋）2＋y＝0.

又∵x1，y1≠0，

∴（x1＋）2＋y>

0，从而得出矛盾，故原命题成立．

例4　解　方法一　（分析法）

∵x，y>

0，

∴欲证log2（x2y2＋1）－log2x－log2y≥log217－2，

需证log2≥log2.

∵由于对数的底数为2>

1，

∴为了证明上式成立，需证≥.

由于x，y>

0，于是为了证明上式成立，

只需证明4x2y2＋4≥17xy，即证4x2y2－17xy＋4≥0.

即证（4xy－1）（xy－4）≥0，

即证xy≤或xy≥4.①

又∵x，y>

0，x＋y＝1，

∴xy≤（）2＝.

∴①式成立，这就证明了log2（x2y2＋1）－log2x－log2y≥log217－2成立．

方法二　（综合法）

由条件知log2（x2y2＋1）－log2x－log2y＝log2.

设u＝，t＝xy.

由x＋y＝1，得xy≤（）2＝，

∴t∈（0，]．

∴u＝＝xy＋＝t＋，t∈（0，]．

∵u′＝（t＋）′＝1－＝<

0，t∈（0，]，

∴u＝t＋在t∈（0，]上是减函数，

∴u≥4＋＝.

∴log2u≥log2，

∴log2≥log217－2，

即log2（x2y2＋1）－log2x－log2y≥log217－2.

跟踪训练4　证明　∵sin（2α＋β）－2cos（α＋β）sinα

＝sin[（α＋β）＋α]－2cos（α＋β）sinα

＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα－2cos（α＋β）sinα

＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα

＝sin[（α＋β）－α]＝sinβ，

两边同除