高考数学理科真题及答案全国卷I.doc
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．已知，0），，则（）
（A）（B）（C）（D）
2．圆锥曲线的准线方程是（）
（A）（B）（C）（D）
3．设函数，若，则的取值范围是（）
（A）（，1）（B）（，）
（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）
4．函数的最大值为（）
（A）（B）（C）（D）2
5．已知圆C：
（）及直线：
，当直线被C截得的弦长为时，则（）
（A）（B）（C）（D）
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）
（A）（B）（C）（D）
7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则（）
（A）1（B）（C）（D）
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）
（A）（B）（C）（D）
9．函数，的反函数（）
（A），1]（B），1]
（C），1]（D），1]
10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是（）
（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（D）（，）
11．（）
（A）3（B）（C）（D）6
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）
（A）（B）（C）（D）
二.填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
13．的展开式中系数是
14．使成立的的取值范围是
2
1
5
3
4
15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。
（以数字作答）
P
M
N
l
P
N
M
l
N
l
P
M
l
M
N
P
N
l
P
M
16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）
①②③④⑤
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
（I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
D
E
K
B
C1
A1
B1
A
F
C
G
（II）求点到平面AED的距离
19．（本小题满分12分）
已知，设
P：
函数在R上单调递减
Q：
不等式的解集为R
如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围
20．（本小题满分12分）
O
北
东O
y
线
岸
O
x
O
r（t）
P
海
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分14分）
O
P
A
G
D
F
E
C
B
x
y
已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？
若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分12分，附加题4分）
（I）设是集合且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…
将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
56
91012
————
…………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）答案
一、选择题
1．D2．C3．D4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．C11．B12．A
二、填空题
13．14．（-1，0）15．7216．①④⑤
三、解答题：
17．解：
设，则复数由题设
18．（Ⅰ）解：
连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
（Ⅱ）解：
19．
解：
函数在R上单调递减
不等式
20．解：
如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：
（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：
12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：
①
直线GE的方程为：
②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程
整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。
当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值。
当时，点P到椭圆两个焦点（0，的距离之和为定值2.
22．（本小题满分12分，附加题4分）
（Ⅰ）解：
（i）第四行17182024第五行3334364048
（ii）解：
设，只须确定正整数
数列中小于的项构成的子集为
其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取
因为100－
（Ⅱ）解：
令
因
现在求M的元素个数：
其元素个数为：
某元素个数为
某元素个数为
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