绝对值不等式高考复习Word文件下载.docx

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a

{x|－a＜x＜a}

∅

|x|>

{x|x＞a或x＜－a}

{x∈R|x≠0}

R

（2）|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c（c＞0）型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

（3）|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解；

②利用零点分段法求解；

③构造函数，利用函数的图象求解．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．（　　）

（2）不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.（　　）

（3）不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.（　　）

（4）当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）√　（4）√

2．（教材改编）若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则实数a＝________.

－3　[依题意，知a≠0.

又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，

∴－1＜ax＜5.

由于|ax－2|＜3的解集为，

∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]

3．（教材改编）若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．

（－∞，－3]∪[3，＋∞）　[由于|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，

∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，

要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，

只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]

4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.

[解]　当x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2，

解得x≥－.

当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，

解得x≤－5.

综上，原不等式的解集是.

5．（2016·

江苏高考）设a>

0，|x－1|<

，|y－2|<

，求证：

|2x＋y－4|<

a.

[证明]　因为|x－1|<

，

所以|2x＋y－4|＝|2（x－1）＋（y－2）|≤2|x－1|＋|y－2|<

＋＝a.

故原不等式得证．

绝对不等式的解法

　（2016·

全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝|x＋1|－|2x－3|.

（1）画出y＝f（x）的图象；

（2）求不等式|f（x）|>

1的解集．

图

[解]　

（1）由题意得f（x）＝

故y＝f（x）的图象如图所示．

（2）由f（x）的函数表达式及图象可知，

当f（x）＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f（x）＝－1时，可得x＝或x＝5.

故f（x）＞1的解集为{x|1＜x＜3}，

f（x）＜－1的解集为.

所以|f（x）|＞1的解集为.

[规律方法]　1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．

2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：

找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．

[变式训练1]　设函数f（x）＝|x－a|.

（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥4－|x－1|；

（2）若f（x）≤1的解集为[0,2]，＋＝a（m＞0，n＞0），求证：

m＋2n≥4.

[解]　

（1）当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，

①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；

②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，

不等式的解集为∅；

③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，

解得x≤－.

综上可得，不等式的解集为∪.

（2）证明：

因为f（x）≤1，即|x－a|≤1，

解得a－1≤x≤a＋1，而f（x）≤1的解集是[0,2]．

所以解得a＝1，

所以＋＝1（m＞0，n＞0），

所以m＋2n＝（m＋2n）

＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当m＝2，n＝1时取等号.

绝对值三角不等式性质的应用

　对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·

|a|恒成立，记实数M的最大值是m.

（1）求m的值；

（2）解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.【导学号：

62172382】

[解]　

（1）不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·

|a|恒成立，

即M≤对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值．

因为|a＋b|＋|a－b|≥|（a＋b）＋（a－b）|＝2|a|，

当且仅当（a－b）（a＋b）≥0时等号成立，

|a|≥|b|时，≥2成立，

也就是的最小值是2，即m＝2.

（2）|x－1|＋|x－2|≤2.

法一：

利用绝对值的意义得：

≤x≤.

法二：

①当x＜1时，不等式为－（x－1）－（x－2）≤2，

解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1.

②当1≤x≤2时，不等式为（x－1）－（x－2）≤2，

得x的取值范围是1≤x≤2.

③当x＞2时，原不等式为（x－1）＋（x－2）≤2,2＜x≤.

综上可知，不等式的解集是.

[规律方法]　1.

（1）利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：

当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；

当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；

当（a－b）（b－c）≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.

（2）对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．

2．第

（2）问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．

[变式训练2]　对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．

[解]　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，

所以|3a－3b|≤3，≤，

所以|4a－3b＋2|＝

≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，

则|4a－3b＋2|的最大值为6，

所以m≥|4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞）.

绝对值不等式的综合应用

　已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

【导学号：

62172383】

[解]　

（1）当a＝1时，f（x）>

1化为|x＋1|－2|x－1|－1>

0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>

0，无解；

当－1<

x<

1时，不等式化为3x－2>

0，解得<

1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>

0，解得1≤x＜2.

所以f（x）>

1的解集为.

（2）由题设可得f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1）．因此△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>

6，故a>

2.

所以a的取值范围为（2，＋∞）．

[规律方法]　1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．

2．第

（2）问求解要抓住三点：

（1）分段讨论，去绝对值符号，化f（x）为分段函数；

（2）数形结合求△ABC的三个顶点坐标，进而得出△ABC的面积；

（3）解不等式求a的取值范围．

[变式训练3]　（2016·

全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f（x）＋g（x）≥3，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝2时，f（x）＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f（x）≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

（2）当x∈R时，f（x）＋g（x）＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|（2x－a）＋（1－2x）|＋a＝|1－a|＋a，

当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3等价于|1－a|＋a≥3.　①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．

当a>

1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞）．

[思想与方法]

1．绝对值不等式的三种常用解法：

零点分段法，几何法（利用绝对值几何意义），构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．

2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．

[易错与防范]

1．利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±

b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．

2．形如|x－a|＋|x－b|≥c（c＞0）的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c≤0，则不等式解集为R.

课时分层训练（十八）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．

（1）求m＋n的值；

（2）若|x－a|＜m，求证：

|x|＜|a|＋1.

[解]　

（1）由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，

得1≤x≤2，

∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.

若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.

2．若函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值.

62172384】

[解]　当a＝－1时，f（x）＝3|x＋1|≥0，不满足题意；

当a＜－1时，f（x）＝

f（x）min＝f（a）＝－3a－1＋2a＝5，

解得a＝－6；

当a＞－1时，f（x）＝

f（x）min＝f（a）＝－a＋1＋2a＝5，

解得a＝4.

综上所述，实数a的值为－6或4.

3．已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.

（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝－3时，

不等式f（x）≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.（*）

若x≤2时，由（*）式，得5－2x≥3，∴x≤1.

若2＜x＜3时，由（*）式知，解集为∅.

若x≥3时，由（*）式，得2x－5≥3，∴x≥4.

综上可知，f（x）≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}．

（2）原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，（**）

当1≤x≤2时，（**）式化为4－x－（2－x）≥|x＋a|，

解得－2－a≤x≤2－a.

由条件，[1,2]是f（x）≤|x－4|的解集的子集，

∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，

故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0]．

4．（2016·

全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝＋，M为不等式f（x）＜2的解集．

（1）求M；

当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.

[解]　

（1）f（x）＝

当x≤－时，由f（x）＜2得－2x＜2，解得x＞－1；

当－＜x＜时，f（