高考全国理数含解析.doc

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）（数学理）

【教师简评】

按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:

题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.

1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.

2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.

3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基（基础知识、基本方法）”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.

（1）复数

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查复数的运算.

【解析】.

（2）.函数的反函数是

（A）（B）

（C）（D）

【答案】D

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即，又；

∴在反函数中，故选D.

（3）.若变量满足约束条件则的最大值为

（A）1（B）2（C）3（D）4

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.

【解析】可行域是由构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3，故选C.

（4）.如果等差数列中，，那么

（A）14（B）21（C）28（D）35

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】

（5）不等式的解集为

（A）（B）

（C）（D）

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.

（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像

（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位

（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.

（8）中，点在上，平方．若，，，，则

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.

【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.

（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

（A）1（B）（C）2（D）3

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.

【解析】设底面边长为a，则高所以体积，

设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.

（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则

（A）64（B）32（C）16（D）8

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..

【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.

（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

（C）有且只有3个（D）有无数个

【答案】D

【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则

（A）1（B）（C）（D）2

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.

【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴

即k=，故选B.

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2．本卷共10小题，共90分。

二．填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）已知是第二象限的角，，则．

【答案】

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.

【解析】由得，又，解得，又是第二象限的角，所以.

（14）若的展开式中的系数是，则．

【答案】1

【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

【解析】展开式中的系数是.

（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．

【答案】2

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

【解析】过B作BE垂直于准线于E，∵，∴M为中点，∴，又斜率为，，∴，∴，∴M为抛物线的焦点，∴2.

（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离．

【答案】3

【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.

【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，

三．解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）

中，为边上的一点，，，，求．

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.

【参考答案】

由cos∠ADC=＞0，知B＜.

由已知得cosB=，sin∠ADC=.

从而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.

由正弦定理得，所以=.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

（18）（本小题满分12分）

已知数列的前项和．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：

．

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.

【参考答案】

【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.

估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

（19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．

（Ⅰ）证明：

为异面直线与的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.

【参考答案】

（19）解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.………………3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.

所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°

设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.

（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.

【参考答案】

【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.

（21）（本小题满分12分）

己知斜率为1的直线l与双曲线C：

相交于B、D两点，且BD的中点为．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：

过A、B、D三点的圆与x轴相切．

【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.

【参考答案】