届高三文科数学一轮复习学案 12命题及其关系充分条件与必要条件Word下载.docx

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p⇏q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p⇏q且q⇏p

知识拓展

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；

（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件；

（4）若AB，则p是q的充分不必要条件；

（5）若AB，则p是q的必要不充分条件；

（6）若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）“对顶角相等”是命题．（　√　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（　×

　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　√　）

（4）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（　√　）

（5）若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．（　√　）

题组二　教材改编

2．[P8T3]下列命题是真命题的是（　　）

A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

答案　A

3．[P12T2

（2）]“x－3＝0”是“（x－3）（x－4）＝0”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

题组三　易错自纠

4．命题“若x2>

y2，则x>

y”的逆否命题是（　　）

A．若x<

y，则x2<

y2B．若x≤y，则x2≤y2

C．若x>

y，则x2>

y2D．若x≥y，则x2≥y2

答案　B

解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>

y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

5．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　x＞y⇏x＞|y|（如x＝1，y＝－2），

但当x＞|y|时，能有x＞y.

∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．

6．已知p：

x>

a是q：

2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，2]

解析　由已知，可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，

∴a≤2.

题型一　命题及其关系

1．下列命题是真命题的是（　　）

A．若＝，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则＝D．若x＜y，则x2＜y2

2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（　　）

A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福

答案　D

3．原命题为“△ABC中，若cosA<

0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，真，真B．假，假，真

C．真，真，假D．真，假，假

解析　若cosA<

0，A为钝角，则△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；

△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cosA>

0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B.

4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________．

答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

思维升华

（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；

判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

题型二　充分必要条件的判定

典例

（1）“0≤m≤1”是“函数f（x）＝cosx＋m－1有零点”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　方法一　若0≤m≤1，则0≤1－m≤1，

∴cosx＝1－m有解．

要使函数f（x）＝cosx＋m－1有零点，

只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故选A.

方法二　函数f（x）＝cosx＋m－1有零点，

则|m－1|≤1，解得0≤m≤2，

∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}．

∴“0≤m≤1”是“函数f（x）＝cosx＋m－1”有零点的充分不必要条件．

（2）已知条件p：

1或x<

－3，条件q：

5x－6>

x2，则綈p是綈q的（　　）

解析　由5x－6>

x2，得2<

x<

3，即q：

2<

3.

所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，

所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.

思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

跟踪训练

（1）（2018届莆田一中月考）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（　　）

A．充要条件B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件D．必要不充分条件

解析　非有志者不能至，是必要条件；

但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．

（2）设a，b∈R，则“（a－b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）

解析　若“（a－b）a2＜0”，则“a＜b”，是真命题；

而若“a＜b”，则“（a－b）a2＜0”当a＝0时不成立，是假命题．故选A.

题型三　充分必要条件的应用

典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

跟踪训练

（1）（2017·

山西五校联考）已知p：

（x－m）2＞3（x－m）是q：

x2＋3x－4＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．

答案　（－∞，－7]∪[1，＋∞）

解析　p对应的集合A＝{x|x＜m或x＞m＋3}，

q对应的集合B＝{x|－4＜x＜1}，

由p是q的必要不充分条件可知，BA，

∴m≥1或m＋3≤－4，

即m≥1或m≤－7.

（2）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

答案　3或4

解析　由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4.

当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

等价转化思想在充要条件中的应用

典例已知p：

≤2，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．

思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．

解析　∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件．

即p是q的充分不必要条件，

由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），

得1－m≤x≤1＋m（m＞0）．

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．

又由≤2，得－2≤x≤10，

∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．

设N＝{x|－2≤x≤10}．

由p是q的充分不必要条件知，NM，

∴或　解得m≥9.

∴实数m的取值范围为[9，＋∞）．

答案　[9，＋∞）

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；

其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．

3．“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（　　）

4．（2018·

河南八市联考）命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是（　　）

A．若a≤b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c＞b＋c，则a＞b

D．若a＞b，则a＋c≤b＋c

解析　否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.

5．（2017·

广东名校模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（