高考数学一轮复习专题31数列求和教学案文Word文件下载.docx

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（2）

（3）

高频考点一　分组转化法求和

例1、（2016·

天津卷）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N＋），且

，S6＝63.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N＋，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{（－1）nb

}的前2n项和.

（2）由题意，得bn＝

（log2an＋log2an＋1）＝

（log22n－1＋log22n）＝n－

，

即{bn}是首项为

，公差为1的等差数列.

设数列{（－1）nb

}的前n项和为Tn，则

T2n＝（－b

＋b

）＋（－b

）＋…＋（－b

）

＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝

＝2n2.

【方法规律】

（1）若数列{cn}的通项公式为cn＝an±

bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.

（2）若数列{cn}的通项公式为cn＝

其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.

【变式探究】

（1）数列1

，3

，5

，7

，…，（2n－1）＋

，…的前n项和Sn的值等于（　　）

A.n2＋1－

B.2n2－n＋1－

C.n2＋1－

D.n2－n＋1－

（2）数列{an}的通项公式an＝ncos

，其前n项和为Sn，则S2016等于（　　）

A.1008B.2016C.504D.0

解析　

（1）该数列的通项公式为an＝（2n－1）＋

则Sn＝[1＋3＋5＋…＋（2n－1）]＋

＝n2＋1－

（2）a1＝cos

＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….

所以数列{an}的所有奇数项为0，前2016项的所有偶数项（共1008项）依次为－2，4，－6，8，…，－2014，2016.

故S2016＝0＋（－2＋4）＋（－6＋8）＋…＋（－2014＋2016）＝1008.

答案　

（1）A　

（2）A

高频考点二　错位相减法求和

例2、（2016·

山东卷）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）令cn＝

.求数列{cn}的前n项和Tn.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn.

得Tn＝3×

[2×

22＋3×

23＋…＋（n＋1）×

2n＋1].

2Tn＝3×

23＋3×

24＋…＋（n＋1）×

2n＋2].

两式作差，得

－Tn＝3×

22＋23＋24＋…＋2n＋1－（n＋1）×

2n＋2]

＝3×

＝－3n·

2n＋2.

所以Tn＝3n·

（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·

bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.

【变式探究】已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.

（2）求数列

的前n项和.

则Sn＝

＋

＋…＋

两式相减得

所以Sn＝2－

高频考点三　裂项相消法求和

例3、Sn为数列{an}的前n项和.已知an>

0，a

＋2an＝4Sn＋3.

（2）设bn＝

，求数列{bn}的前n项和.

解　

（1）由a

＋2an＝4Sn＋3，

可知a

＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.

可得a

－a

＋2（an＋1－an）＝4an＋1，

即2（an＋1＋an）＝a

＝（an＋1＋an）（an＋1－an）.

由于an>

0，可得an＋1－an＝2.

又a

＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去）或a1＝3.

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为

an＝2n＋1.

（2）由an＝2n＋1可知

bn＝

设数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝b1＋b2＋…＋bn

（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.

（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.

【变式探究】设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.

（1）求an；

，求数列{bn}的前n项和为Tn.

∴bn＝

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn

【举一反三】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S

＝an

（1）求Sn的表达式；

，求{bn}的前n项和Tn.

∴

＝1＋2（n－1）＝2n－1，∴Sn＝

（2）∵bn＝

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

[（1－

）＋（

）＋…＋（

）]＝

1.【2016高考山东理数】

（本小题满分12分）

已知数列

的前n项和Sn=3n2+8n，

是等差数列，且

（Ⅰ）求数列

的通项公式；

（Ⅱ）令

求数列

的前n项和Tn.

【答案】

（Ⅰ）

；

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题意知当

时，

当

所以

设数列

的公差为

由

，即

，可解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

又

得

【2015江苏高考，11】数列

满足

，且

（

），则数列

的前10项和为

【2015高考天津，理18】

（本小题满分13分）已知数列

成等差数列.

（I）求

的值和

（II）设

，求数列

的前

项和.

（I）

;

（II）

的通项公式为

【2015高考四川，理16】设数列

项和

（1）求数列

（2）记数列

的前n项和

，求得

成立的n的最小值.

（2）10.

（2）由

（1）得

，得

因为

于是，使

成立的n的最小值为10.

【2015高考新课标1，理17】

为数列{

}的前

项和.已知

＞0，

=

（Ⅰ）求{

}的通项公式；

（Ⅱ）设

求数列{

（Ⅰ）当

，因为

，所以

=3，

=2，

所以数列{

}是首项为3，公差为2的等差数列，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

}前n项和为

=

1．（2014·

江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足

anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

（1）令cn＝

，求数列{cn}的通项公式；

（2）若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.

2．（2014·

全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.

，求数列{bn}的前n项和Tn.

（1）由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．

又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，

于是10＋3d≥0，10＋4d≤0，

解得－

≤d≤－

因此d＝－3.

故数列{an}的通项公式为an＝13－3n.

（2）bn＝

.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

3．（2014·

山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（－1）n－1

【解析】

（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋

×

2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋

2＝4a1＋12，

由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），解得a1＝1，

所以an＝2n－1.

当n为奇数时，

Tn＝

＋…－

＝1＋

所以Tn＝

4．（2013·

江西卷）正项数列{an}的前n项和Sn满足：

S

－（n2＋n－1）Sn－（n2＋n）＝0.

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn＝

，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：

对于任意的n∈N*，都有Tn<

（1）由S

－（n2＋n－1）Sn－（n2＋n）＝0，得

[Sn－（n2＋n）]（Sn＋1）＝0.

由于{an}是正项数列，所以Sn>

0，Sn＝n2＋n.[

于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n.

5．（2013·

湖南卷）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝（－1）nan－

，n∈N*，则

（1）a3＝________；

（2）S1＋S2＋…＋S100＝________．

（1）－

（2）

　[解析]

（1）因Sn＝（－1）nan－

，则S3＝－a3－

，S4＝a4－

，解得a3＝－

（2）当n为偶数时，Sn＝an－

，当n为奇数时，Sn＝－an－

，可得当n为奇数时an＝－

又S1＋S2＋…＋S100＝

＝－a1＋a2＋…－a99＋a100－

＝S100－2（a1＋a3＋…＋a99）－

＝S101－a101－2

＝－

＋2×

6．（2013·

山东卷