北京市一零一中学届高三月考数学理试题 Word版含答案Word下载.docx

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54种C.C×

54种D.C×

A种

7.设函数f（x）=Asin（x+）（A，，是常数，A>

0，>

0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）

A.

B.

C.

D.<

8.已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°

，点C是线段AB上不与A、B重合的动点。

MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（）

A.[，0）B.[，0]C.[，1）D.[，1]

二、填空题：

共6小题，共30分。

9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n的值为_______。

10.在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是________。

11.已知x>

0，y>

0，x+2y=1，则的最小值为__________。

12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________。

13.在（x+）（2x-1）5展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为_______。

14.已知函数f（x），对于给定的实数t，若存在a>

0，b>

0，满足：

x[t-a，t+b]，使得|f（x）-f（t）|2，则记a+b的最大值为H（t）。

（1）当f（x）=2x时，H（0）=_________；

（2）当f（x）=x2且t∈[1，2]时，函数H（t）的值域为__________。

三、解答题：

共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC。

（I）求角B的大小；

（II）若ABC的面积为，且b=，求a+c的值.

16.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人。

为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：

小时）分为5组：

[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图。

（I）写出a的值；

（II）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；

（III）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望。

17.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°

，四边形CC1D1D为矩形，已知AB⊥BC1，AD=4，AB=2，BC=1。

（I）求证：

BC1∥平面ADD1；

（II）若DD1=2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；

（III）设P为线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直?

并说明理由。

18.如图，已知椭圆C：

（a>

b>

0）的离心率为，F为椭圆C的右焦点。

A（-a，0），|AF|=3。

（I）求椭圆C的方程；

（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M。

直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E。

求证：

∠ODF=∠OEF。

19.已知函数f（x）=。

（I）求f（x）在区间[1，a]（a>

1）上的最小值；

（II）若关于x的不等式f2（x）+mf（x）>

0只有两个整数解，求实数m的取值范围。

20.设数列{an}满足：

①a1=1；

②所有项an∈N*；

③1=a1<

a2<

…<

an<

an+1<

…。

设集合Am={n|an≤m，m∈N*），将集合Am中的元素的最大值记为bm，即bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值。

我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列。

例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3。

（I）若数列{an}的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3……，请写出数列{an}；

（II）设an=4n-1，求数列{an}的伴随数列{bn}的前50项之和；

（III）若数列{an}的前n项和（其中c为常数），求数列{an}的伴随数列{bm}的前m项和Tm。

参考答案

本大题共8小题，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

D

本大题共6小题，共30分。

9.610.11.812.8+6

13.3014.2；

，2）[2，4]

本大题共6小题，共80分。

（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

15.（本小题13分）

解：

（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴2acosB=bcosC+ccosB，

∴2sinAcosB=sinBcosC+sinBcosC=sin（B+C）=sin（-A）=sinA

∵0<

A<

，∴sinA>

0，∴2cosB=1，cosB=

又∵0<

B<

，∴B=…………………………………………7分

（II）S=acsinB=ac=，ac=6，

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=3

∴（a+c）2=21，∴a+c=…………………………13分

16.（本小题13分）

（I）解：

a=0.03。

……………3分

（II）解：

由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名。

…………4分

因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×

10=0.25，

所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×

1800=450人，

………………6分

同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×

10=0.35，学生人数约有0.35×

1200=420人。

所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人。

………………8分

（III）解：

初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×

10=0.05，样本人数为0.05×

60=3人。

同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为（0.005×

10）×

40=2人。

故X的可能取值为l，2，3.………………9分

则P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=。

所以X的分布列为：

X

P

………………12分

所以E（X）=1×

+2×

+3×

=。

………13分

17.（本小题14分）

（I）证明：

由CC1D1D为矩形，得CC1∥DD1，又因为DD1平面ADD1，CC1平面ADD1，

所以CC1∥平面ADD1，………………2分

同理BC∥平面ADD1，又因为BCCC1=C，所以平面BCC1∥平面ADD1，……3分

又因为BC1平面BCC1，所以BC1∥平面ADD1。

………4分

由平面ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°

，得AB⊥BC，又因为AB⊥BC1，BCBC1=B，所以AB⊥平面BCC1，所以AB⊥CC1，又因为四边形CC1D1D为矩形，且底面ABCD中AB与CD相交一点，所以CC1⊥平面ABCD，因为CC1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD。

过D在底面ABCD中作DM⊥AD，所以DA，DM，DD1两两垂直，以DA，DM，DD1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，………………6分

则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，2），D1（0，0，2），

所以=（-l，2，2），=（-4，0，2）。

设平面AC1D1的一个法向量为m=（x，y，z），

由m·

=0，m·

=0，得

令x=2，得m=（2，-3，4）…………8分

易得平面ADD1的法向量n=（0，1，0）。

所以cos<

m，n>

即平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值为。

…………10分

（III）结论：

直线BC1与CP………………11分

证明：

设DD1=m（m>

0），=（∈（0，1）），

由B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，m），D（0，0，0），

得=（-l，0，m），=（3，2，m），==（3，2，m），=（-3，-2，0），=+=（3-3，2-2，m）。

………………12分

若BC1⊥CP，则·

=-（3-3）+m2=0，即（m2-3）=-3，因为≠0，

所以m2=-+3>

0，解得>

1，这与0<

<

l矛盾。

所以直线BC1与CP不可能垂直。

……………14分

18.（本小题14分）

（I）设椭圆C的半焦距为c。

依题意，得

，a+c=3。

[2分]

解得a=2，c=1。

所以b2=a2-c2=3，

所以椭圆C的方程是[4分]

（II）解法一：

由（I）得A（-2，0）。

设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1）。

设直线AP的方程为：

y=k（x+2）（k≠0），将其代入椭圆方程，整理得

（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，[6分]

所以-2+x1=.[7分]

所以x0=，y0=k（x0+2）=，

即M（，）.[8分]

所以直线OM的斜率是，[9分]

所以直线OM的方程是y=-x。

令x=4，得D（4，-）。

[10分]

直线OE的方程是y=kx。

令x=4，得E（4，4k）。

[11分]

由F（1，0），得直线EF的斜率是=，所以EF⊥OM，记垂足为H；

因为直线DF的斜率是=，所以DF⊥OE，记垂足为G.[13分]

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，

所以∠ODF=∠OEF.[14分]

19.（本小题13分）

（1）f'

（x）=，令f'

（x）>

0得f（x）的递增区间为（0，）；

令f'

（x）<

0得f（x）的递减区间为（，+），……………2分

∵x∈[l，a]，则当1<

a≤时，f（x）在[1，a]上为增函数，f（x）的最小值为

f

（1）=ln2；

...........3分

当a>

时，f（x）在[1，）上为增函数，在（，a]上为减函数，f

（2）==