山东省诸城市桃林镇桃林初中华师大版初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第27讲动态几何问题透视附答案Word文档下载推荐.docx

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几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；

更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”．

【例题求解】

【例1】如图，把直角△ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是．

思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°

和90°

，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和．

【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置（）

⌒

A．在平分AB的某直线上移动B．在垂直AB的某直线上移动

C．在AmB上移动D．保持固定不移动

思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．

【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°

，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为厘米，请你回答下列问题：

（1）当=3时，的值是多少?

（2）就下列各种情形：

①0≤≤2；

②2≤≤4；

③4≤≤6；

④6≤≤8．求与之间的函数关系式．

（3）在给出的直角坐标系中，用图象表示

（2）中的各种情形下与的关系．

思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．

动与静是对立的，又是统：

一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．

建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．

【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2（秒）．

（1）当为何值时，线段EF与BC平行?

（2）设1<

<

2，当为何值时，EF与半圆相切?

（3）当1≤<

2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?

若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，请给予证明，并求AP：

PC的值．

思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于

（1）、

（2），运用相关几何性质建立关于的方程；

对于（3），点P的位置是否发生变化，只需看是否为一定值．

动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．

【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；

如图

（1），连结O2O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD=．

（1）求：

CD的长（用含R、的式子表示）；

（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；

（3）设点P′为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于?

C′D′与P′Ol的位置关系如何?

并说明理由．

思路点拨对于

（1）、

（2），作出圆中常见辅助线；

对于（3），P点虽为OOl上的一个动点，但⊙O1、⊙O2一些量（如半径、AB）都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．

学力训练

1．如图，ΔABC中，∠C=90°

，AB=12cm，∠ABC=60°

，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm（π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字）．

2．如图，在RtΔABC中，∠C=90°

，∠A=60°

，AC=cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔA'

BC'

的位置，且使A、B、C'

三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是cm．

3．一块等边三角形的木板，边长为l，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束走过的路径长度为（）

A．B．C．4D．

4．把ΔABC沿AB边平移到ΔA'

B'

C'

的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA'

是（）

A．B．C．1D．

5．如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．

（1）若r=厘米，求⊙O首次与BC边相切时AO的长；

（2）在O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?

写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；

（3）设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S>

0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．

6．已知：

如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动（与A、C两点不重合），连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB的长为，CD的长为．

（1）求关于的函数关系式；

当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；

（2）在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；

（3）在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE为直径的圆与⊙O能内切吗?

若不能，说明理由；

若能，求出BE的长．

7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=（为锐角）．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=，ON=（>

≥0），ΔAOM的面积为S，若cos、OA是方程的两个根．

（1）当∠MAN旋转30°

（即∠OAM=30°

）时，求点N移动的距离；

（2）求证：

AN2=ON·

MN；

（3）求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；

（4）试写出S随变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

8．已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°

，BD⊥CD．

（1）求BC、AD的长度；

（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；

（3）在

（2）的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：

5？

若存在，求出的值；

若不存在，请说明理由．

9．已知：

如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动．

设AE=，四边形EFGH的面积为S．

（1）当n=l、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?

（2）当n=3时，如图④，求S与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），探索S随增大而变化的规律；

猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使；

（3）当n=k（k≥1）时，你所得到的规律和猜想是否成立?

请说明理由．

10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿轴正方向运动，B（4，2），以BE为直径作⊙O1．

（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；

（2）在

（1）的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?

（3）如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PA·

FA的值是否会发生变化?

若不变，请说明理由，并求其值；

若变化，请求其值的变化范围．

参考答案