高中不等式习题精选精解及答案.doc
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高中不等式习题精选精解
一、求取值范围
1、已知,求的取值范围。
解:
根据已知条件:
所以的取值范围是
2、已知,且,求的取值范围。
解:
由已知条件,显然
综上所述的取值范围是
3、正数满足,求的最小值。
解:
(为正数)
4、设实数满足,当时,求的取值范围。
y
解:
方程表示的是以点(0,1)为圆心的圆,根据题意当直线(为常数)与圆在第二象限相切时,取到最小值;(此时,切点的坐标满足,其它圆上的点都满足(因为在直线的上方),当增大,直线向下方平移,圆上的全部点满足,
因此:
x
所以的取值范围是
5、已知函数满足,,求的取值范围。
解:
由习已知得:
设:
所以的取值范围是
6、已知:
、都是正数,且,,,求的最小值
解:
是正数,
的最小值是5,(当且仅当时)。
o
14
X1x2
x
y
7、已知集合与,若,求的取值范围。
解:
设(*)
当Ø,即方程(*)无解,显然成立,由得
,解得
当Ø,且成立,即:
根据图像得出:
,解得
综合
(1)
(2)两式,得的取值范围为。
8、若关于的方程有实数解,求实数的取值范围。
o
y
x
o
y
x
解一:
设,,原题转换为求方程在上有解。
共有两种情况,一种是有两个根,一种是只
有一个根(如图所示),由二次函数的图像和
性质,得方程在上
有实数解的充要条件为:
注:
两组不等式分别对应两个图
解得
所以的取值范围是
解二:
由方程得
函数的值域就是的取值范围。
所以的取值范围是
二、解不等式
1、
解:
不等式与或同解,也可以这样理解:
符号“”是由符号“>”“=”合成的,故不等式可转化为或。
解得:
原不等式的解集为
2、.
解:
+
,用根轴法(零点分段法)画图如下:
+
+
-
-
-1
1
2
3
原不等式的解集为。
3、
解:
原式等价于
,即注:
此为关键
原不等式等价于不等式组解得:
4、
解:
当时,原不等式化为,得;
当时,原不等式化为,得;
当时,原不等式化为,得;
当时,原不等式化为,得;
当时,原不等式化为,得
综合上面各式,得原不等式的解集为:
5、关于的不等式的解集为,求的解集。
解:
由题意得:
,且
则不等式与不等式组同解
得所求解集为
6、已知且,关于的不等式的解集是,解关于的不等式的解集。
解:
关于的不等式的解集是,,
或
原不等式的解集是。
三、证明题
1、已知,求证:
证一:
,证毕。
证二:
,证毕。
2、设,为偶数,证明
证:
.
①当时,,0,
∴0,故;
②当有一个负值时,不妨设,且,即.
∵为偶数时,∴0,且
∴0,故.
综合①②可知,原不等式成立
注:
必须要考虑到已知条件,分类讨论,否则不能直接得出0
3、求证:
证:
设向量,由,得
注意:
当∥时,即,,,、方向相同,取等号。
当利用公式证明时,会得:
的错误结论,因为这里取等号
的条件是∥,且、方向相反,根据题设条件,∥时,方向相同,故取不到等号,
计算的结果也使不等式范围缩小了。
4、求证:
()
证一:
()
原不等式成立,证毕。
证二:
当时,原不等式为:
,显然成立;
假设当取-1时,原不等式成立,即成立,则
,即取时原不等式也成立。
综上,对于任意()原不等式成立,证毕。
注意:
此类证明方法称为数学归纳法
5、设,实数满足,求证:
证:
=
当,
当,
当,
综合式情况,原不等式成立。
证毕
注:
式的最后一步省略了对的详细分析,正式解题时不能省。
分析过程用
同号
异号
6、已知:
,求证:
证:
由已知得:
,即
,及基本不等式,代入式得:
解得;
,由式得,
综上得:
。
证毕。
7、已知,证明:
证:
,
,()同理得:
,
式两边相加,得
所以原不等式成立,证毕。
注:
“”的来由:
不等式当且仅当时取等号,得。
8