八下数学第十七章Word文档下载推荐.docx

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探究

等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？

图中，每个小方格的面积均为，请分别算出图中正方形A，B，C，A’，B’，C’的面积，看看能有什么结论．（提示：

以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去个直角三角形的面积．）

由上面的几个例子，我们猜想（图）：

命题如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边长为，那么．

赵爽利用弦图证明命题的基本思路如下：

如图，把边长为，的两个正方形

赵爽指出：

按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差为中黄实，加差实，亦成弦实．

连在一起，它的面积是；

另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）．把图中左、右两个三角形移到图中所示的位置，就会形成一个以为边长的正方形（图）．因为图与都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以他们的面积相等．因此．

赵爽所用的这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”．在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理．

这样我们就证实了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理（Pythagorastheorem）．

“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．因此，这个图案（图）被选为年在北京召开的国际数学家大会的会徽．

练习

1．设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为．

已知，，求；

已知，，求．

2．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是，，，，求最大正方形E的面积．

1．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．求，两点间的距离（结果取整数）．

2．如图，在平面直角坐标系中有两点和．求这两点间的距离．

思考

在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

先画出图形，再写出已知、求证如下：

已知：

如图，在和中，，，．

求证：

．

证明：

在和中，，根据勾股定理，得：

，．

又，，

．．

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？

如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．容易知道，长为的线段是两条直角边的长都为的直角三角形的斜边．长为的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数，的直角三角形的斜边长为．由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示的点．

如图，在数轴上找出表示的点，则，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点即为表示的点．

类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段（图）．按照同样的方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点（图）．

1．在数轴上作出表示的点．

2．如图，等边三角形的边长是．求：

高的长；

这个三角形的面积．

习题17.1

复习巩固

1．设直角三角形的两条直角边分别为，，斜边长为．

2．一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处．木杆折断之前有多高？

3．如图，一个圆锥的高，底面半径．的长是多少？

4．已知长方形零件尺寸（单位：

）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）．

5．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．求地面钢缆固定点到电线杆底部的距离（结果保留小数点后一位）．

6．在数轴上作出表示的点．

综合应用

7．在中，，，

如果，求，；

如果，求，．

8．在中，，，．求：

的面积；

斜边；

分析：

在图17.2-3中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．

解：

根据题意，

，

因为，即，所以．由远航号沿东北方向航行可知，，因此，即“海天”号沿西北方向航行．

1．如果三条线段长，，满足，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？

为什么？

2．说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？

两条直线平行，内错角相等；

如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

全等三角形的对应角相等；

在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

3．，，三地的两两距离如图所示，地在地的正东方向，地在地的什么方向？

习题17.2

1．判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形：

，，；

，，。

2．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？

同旁内角互补，两直线平行；

如果两个角是直角，那么它们相等；

全等三角形的对应边相等；

如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

3．小明向东走后，沿另一方向又走了，再沿第三个方向走回到原地．小明向东走后是向哪个方向走的？

综合运用

4．在中，，，边上的中线．求．

5．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．

6．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．求证．

拓广探索

7．我们知道，，是一0组勾股数，那么，，（是正整数）也是一组勾股数吗？

一般地，如果，，是一组勾股数，那么，，（是正整数）也是一组勾股数吗？

阅读与思考

费马大定理

根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长，和斜边长都是含三个未知数的方程的一组解，而每一组勾股数（例如，，，；

等）都是这个方程的正整数解．

上述命题被称为“费马大定理”．它的证明引起了世界各国数学家的关注，包括欧拉、高斯、勒贝格在内的许多著名数学家都对这个命题进行了深入的研究，但一直没能证明它．对费马大定理的研究给数学界带来了很大的影响，很多数学成果、甚至数学分支在这个过程中诞生，费马大定理也因此被数学界称为是一只“会下金蛋的鹅”．

费马大定理的证明最终由英国数学家怀尔斯完成．怀尔斯在童年时代就梦想能证明费马大定理，后来为此作了长期的努力和准备．年，他发现了定理证明的一种可能的途径，就开始全力以赴的投入到定理的证明中．年月，怀尔斯在英国剑桥大学的学术讨论会上报告了他的研究成果，立即引起了全世界数学家和数学爱好者的关注．在这以后，他又用了一年多的时间补证了专家小组发现的证明中的漏洞，并最终于年彻底完成了证明．这个有多年历史的数学难题终于得到解决．年月，怀尔斯因为他的这一杰出数学成就荣获沃尔夫奖，并于年月荣获菲尔兹特别奖．费马大定理的证明则被称为“世纪性的成就”，并被列入年的世界科技十大成就之一．

费马（P.deFermat，）

怀尔斯（A.Wiles，—）

数学活动

活动1

如图1，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理提出一个解决问题的方案，并与同学交流．

活动2

用四张全等的直角三角形纸片拼含有正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．以下各图是按要求拼出的几个图案，请你再给出几种不同的拼法．

设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，试用两种不同方法计算图2中大正方形（或小正方形）的面积．从中你发现勾股定理的证明方法了吗？

在拼出的其他图案中再试一试，看看在哪些图案中能用类似的方法证明勾股定理．

请你从有关书籍或互联网上再找一些证明勾股定理的方法，并与同学交流．

小结

一、本章知识结构图

二、回顾与思考

直角三角形是特殊的三角形，它的三边之间有特殊的数量关系．本章我们通过对面积关系的探究，发现并证明了勾股定理．勾股定理是数学中最重要的定理之一，它反映了直角三角形三边的数量关系，不仅在解决与直角三角形相关的问题时很有用，而且在解决其他数学问题时也很有用．借助于图形的面积研究相关的数量关系，是我国古代数学研究中经常采用的重要方法，它充分显示了古人的卓越智慧．

得到一个数学结论后，经常要研究其逆命题是否成立．一般地，原命题成立，逆命题未必成立，而勾股定理的逆命题是一个定理．勾股定理的逆命题提供了直角三角形的一种判定方法．勾股定理及其逆定理，从相反的路径对直角三角形进行了刻画．

请你带着以下的问题，复习一下全章的内容吧．

1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？

2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？

3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？

你作判断的依据是什么？

4．证明勾股定理的逆定理运用了了什么方法？

5．一个命题成立，它的逆命题未必成立．请举例说明．

复习题17

1．两人从同一地点同时出发，一人以的速度向北直行，一人以的速度向东直行．后他们相距多远（结果取整数）？

2．如图，过圆锥的顶点和底面圆的圆心的平面截圆锥得截面，其中，是圆锥底面圆的直径．已知，，求截面的面积．

3．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是，两孔中心的水平距离是．计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）．

4．如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高，长．求覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米（结果保留小数点后一位）．

5．一个三角形三边的比为：

:

，这个三角形是直角三角形吗？

6．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些命题成立吗？

两条直线平行，同位角相等；

如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；

等边三角形是锐角三角形；

7．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，求斜边的长．

8．如图，在中，，高，求．

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

9．如图，每个小正方形的边长都为．

（1）求四边形的面积与周长；

（2）是直角吗？

10．一根竹子高丈，折断后竹子顶落在离竹子底端尺处．折断处离地面的高度是多少？

（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，丈=尺．）

11．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？

如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？