高考数学一轮复习专题几何概型Word文档下载推荐.docx

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判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（　√　）

（2）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（　√　）

（3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（　√　）

（4）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（　√　）

（5）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（　×

　）

（6）从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.（　×

1．（教材改编）在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为（　　）

A.B.C.D．1

答案　B

解析　坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为.

2．（2015·

山东）在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤≤1”发生的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　由－1≤≤1，得≤x＋≤2，

∴0≤x≤.

∴由几何概型的概率计算公式得所求概率

P＝＝.

3．（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（　　）

解析　∵P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝，

∴P（A）>

P（C）＝P（D）>

P（B）．

4．（2017·

南昌月考）一个边长为3cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2cm的区域内的概率等于________．

答案　

解析　如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2cm为半径作圆，

与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝（3）2－π×

22－π×

12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2cm的概率为P＝＝＝.

5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．

解析　设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，

则P（A）＝＝＝.

题型一　与长度、角度有关的几何概型

例1　

（1）（2016·

全国甲卷）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）

（2）（2017·

太原调研）在区间[－，]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为________．

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.

（2）当－≤x≤时，由0≤cosx≤，

得－≤x≤－或≤x≤，

根据几何概型概率公式得所求概率为.

（3）如图所示，在△ABC中，∠B＝60°

，∠C＝45°

，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<

1的概率．

解　因为∠B＝60°

，所以∠BAC＝75°

.

在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°

，

所以BD＝＝1，∠BAD＝30°

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<

1”，则可得∠BAM<

∠BAD时事件N发生．

由几何概型的概率公式，得P（N）＝＝.

引申探究

1．本例

（2）中，若将“cosx的值介于0到”改为“cosx的值介于0到”，则概率如何？

解　当－≤x≤时，由0≤cosx≤，

2．本例（3）中，若将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<

解　依题意知BC＝BD＋DC＝1＋，

P（BM<

1）＝＝.

思维升华　求解与长度、角度有关的几何概型的方法

求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域（长度或角度）．

（1）（2016·

全国乙卷）某公司的班车在7：

00，8：

00,8：

30发车，小明在7：

50至8：

30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）

（2）已知集合A＝{x|－1<

x<

5}，B＝，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈（A∩B）”的概率是________．

解析　

（1）如图所示，画出时间轴．

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.

（2）由题意得A＝{x|－1<

5}，B＝，故A∩B＝{x|2<

3}．由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，则x∈（A∩B）的概率为P＝.

题型二　与面积有关的几何概型

命题点1　与平面图形面积有关的问题

例2　（2016·

全国甲卷）从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　）

答案　C

解析　由题意得

（xi，yi）（i＝1,2，…，n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，

∴π＝，故选C.

命题点2　与线性规划知识交汇命题的问题

例3　（2016·

武汉模拟）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，由不等式组确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．

解析　如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，

易知C（－，），故由几何概型的概率公式，得所求概率

P＝＝＝.

命题点3　与定积分交汇命题的问题

例4　（2015·

福建）如图，点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（2,4），函数f（x）＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．

解析　由题意知，阴影部分的面积S＝ʃ（4－x2）dx＝（4x－x3）|＝，

所以所求概率P＝＝＝.

思维升华　求解与面积有关的几何概型的注意点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

昌平模拟）设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是（　　）

（2）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．

答案　

（1）D　

（2）

解析　

（1）作出平面区域D，可知平面区域D是以A（4,3），B（4，－2），C（－6，－2）为顶点的三角形区域．当点在△AEF区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.

∴P＝＝＝.

（2）由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2ʃ（e－ex）dx＝2（ex－ex）|＝2[e－e－（0－1）]＝2.又该正方形面积为e2，

故由几何概型的概率公式可得所求概率为.

题型三　与体积有关的几何概型

例5　

（1）（2016·

贵州黔东南州凯里一中期末）一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（　　）

（2）已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP—ABC<

VS—ABC的概率是（　　）

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P＝.

（2）当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－＝.

思维升华　求解与体积有关的几何概型的注意点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．

　（2016·

哈尔滨模拟）在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．

解析　如图，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，要使三棱锥S－APC的体积大于，只需△APC的面积大于△ABC的面积的.

假设点P′是线段AB靠近点A的三等分点，记事件M为“三棱锥S－APC的体积大于”，则事件M发生的区域是线段P′B.

从而P（M）＝＝.

16．几何概型中的“测度”

典例　

（1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°

，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<

30°

的概率是________．

（2）在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为（　　）

错解展示

解析　

（1）∵∠C＝90°

，∠CAM＝30°

∴所求概率为＝.

（2）两点之间线段长为时，占长为1的线段的一半，故所求概率为.

答案　

（1）　

（2）B

现场纠错

解析　

（1）因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a，则所求概率为＝.

（2）设任取两点所表示的数分别为x，y，

则0≤x≤1，且0≤y≤1.

由题意知|x－y|<

，所以所求概率为

答案　

（1）　

（2）C

纠错心得　

（1）在线段上取点，则点在线段上等可能出现；

在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．

（2）两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.

1．（2016·

佛山模拟）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（　　）

A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68

解析　设椭圆的面积为S，则＝，

故S＝16.32.

2．（2016·

昆明三中、玉溪一中统考）已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）

答案　D

解析　以PB、PC为邻边