届高三数学第一轮知识点课后强化训练题37Word格式.docx

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[答案]　D

[解析]　方法一（数形结合法）：

由题意知，f（x）过定点（4，－3），且斜率k＝f′（x）<

3.

又y＝3x－15过点（4，－3），k＝3.

∴y＝f′（x）和y＝3x－15在同一坐标系中的草图如图，

∴f（x）<

3x－15的解集为（4，＋∞），故选D.

方法二：

记g（x）＝f（x）－3x＋15，

则g′（x）＝f′（x）－3<

0，

可知g（x）在R上为减函数．

又g（4）＝f（4）－3×

4＋15＝0，

3x－15可化为f（x）－3x＋15<

即g（x）<

g（4），结合其函数单调递减，故得x>

4.

4．若函数f（x）＝

sin2x＋sinx，则f′（x）是（　　）

A．仅有最小值的奇函数

B．仅有最大值的偶函数

C．既有最大值又有最小值的偶函数

D．非奇非偶函数

[解析]　f（x）＝sinxcosx＋sinx，则f′（x）＝cosxcosx＋sinx·

（－sinx）＋cosx＝cos2x－sin2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1，显然f′（x）是偶函数，又因为cosx∈[－1,1]，所以函数f′（x）既有最大值又有最小值．

5．函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝

在区间（1，＋∞）上一定（　　）

A．有最小值B．有最大值

C．是减少的D．是增加的

[解析]　∵f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，∴a<

1.

∴g（x）＝

＝x＋

－2a，

则g′（x）＝1－

＝

.

∵x∈（1，＋∞），a<

1，∴x2－a>

0，即g′（x）>

0.

∴g（x）在（1，＋∞）上是增加的．

6．（文）如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10000m2，鱼塘前面要留4m的运料通道，其余各边为2m宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为（　　）

A．长102m，宽

mB．长150m，宽66m

C．长、宽均为100米D．长150m，宽

m

[解析]　设鱼塘长、宽分别为ym、xm，依题意xy＝10000.

设占地面积为S，则S＝（3x＋8）（y＋6）

＝18x＋

＋30048，

令S′＝18－

＝0，得x＝

.此时y＝150.

（理）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：

太贝克）与时间t（单位：

年）满足函数关系：

M（t）＝M02－

，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2（太贝克/年），则M（60）＝（　　）

A．5太贝克B．75ln2太贝克

C．150ln2太贝克D．150太贝克

[解析]　本题考查导数在生活中的应用．

M′（t）＝－

ln2·

2－

，∴M′（30）＝－

ln2＝－10ln2，∴M0＝600，∴M（t）＝600·

，

∴M（60）＝600·

2－2＝150.

二、填空题

7．函数f（x）＝x2－2lnx的最小值为________．

[答案]　1

[解析]　由f′（x）＝2x－

＝0，得x2＝1.又x>

0，所以x＝1.因为0<

1时，f′（x）<

0，x>

1时f′（x）>

0，所以当x＝1时，f（x）取极小值（极小值唯一）也即最小值f

（1）＝1.

8．已知函数f（x）＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.

[答案]　32

[解析]　令f′（x）＝3x2－12＝0，

得x＝－2或x＝2，

列表得：

可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.

9．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．（强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽）

[答案]　

d

[解析]　下图为圆木的横截面，

∵b2＋h2＝d2，

∴bh2＝b（d2－b2）．

设f（b）＝b（d2－b2），∴f′（b）＝－3b2＋d2.

令f′（b）＝0，由于b>

0，∴b＝

d，且在（0，

d]上f′（b）>

0，在[

d，d）上，f′（b）<

∴函数f（b）在b＝

d处取得极大值，也是最大值，

即抗弯强度最大，此时长h＝

d.

三、解答题

10．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）＋f′（x）．

（1）求g（x）的单调区间和最小值；

（2）讨论g（x）与g（

）的大小关系；

（3）求a的取值范围，使得g（a）－g（x）<

对任意x>

0成立．

[解析]　

（1）g′（x）＝

，由g′（x）>

0，得g（x）的单调增区间为（1，＋∞）；

由g′（x）<

0，得g（x）的单调减区间为（0,1）．因此x＝1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g（x）min＝g

（1）＝1.

（2）设h（x）＝g（x）－g（

），则h′（x）＝－

h′（x）≤0，∴h（x）在（0，＋∞）上为减函数．

当x＝1时，h

（1）＝0，即g（x）＝g（

）；

1时，h（x）>

h

（1）＝0，即g（x）>

g（

当x>

1时，h（x）<

h

（1）＝0，即g（x）<

）．

（3）由

（1）知g（x）的最小值为1，所以g（a）－g（x）<

，对任意x>

0成立⇔由g（a）－1<

，得0<

a<

e.

能力强化训练

1．（2013·

新课标Ⅱ）若存在正数x使2x（x－a）<

1成立，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，＋∞）B．（－2，＋∞）

C．（0，＋∞）D．（－1，＋∞）

[解析]　由题意得，a>

x－（

）x　（x>

0），

令f（x）＝x－（

）x，则f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴f（x）min>

f（0）＝－1，∴a>

－1，故选D.

2．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）

A．1B.

C.

D.

[解析]　|MN|的最小值，即函数h（x）＝x2－lnx的最小值，h′（x）＝2x－

，显然x＝

是函数h（x）在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝

3．（2014·

广州模拟）设函数f（x）＝ax3－3x＋1（x∈R），若对于任意x∈[－1,1]，都有f（x）≥0成立，则实数a的值为________．

[答案]　4

[解析]　（构造法）若x＝0，则不论a取何值，f（x）≥0显然成立；

0，即x∈（0,1]时，f（x）＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥

－

.设g（x）＝

则g′（x）＝

所以g（x）在区间（0，

]上单调递增，在区间[

，1]上单调递减，

因此g（x）max＝g（

）＝4，从而a≥4.

当x<

0，即x∈[－1,0）时，同理a≤

g（x）在区间[－1,0）上单调递增，

∴g（x）min＝g（－1）＝4，从而a≤4.综上可知a＝4.

4．已知函数f（x）＝

在[1，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围为________．

[答案]　[e，＋∞）

[解析]　f′（x）＝

，因为f（x）在[1，＋∞）上为减函数，

故f′（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，

即lna≥1－lnx在[1，＋∞）上恒成立．

设φ（x）＝1－lnx，φ（x）max＝1，故lna≥1，a≥e.

5．设f（x）＝－

x3＋

x2＋2ax.

（1）若f（x）在（

，＋∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

（2）当0<

2时，f（x）在[1,4]上的最小值为－

，求f（x）在该区间上的最大值．

[解析]　

（1）由f′（x）＝－x2＋x＋2a

＝－（x－

）2＋

＋2a

当x∈[

，＋∞）时，f′（x）的最大值为f′（

）＝

＋2a；

令

＋2a>

0，得a>

所以，当a>

时，f（x）在（

，＋∞）上存在单调递增区间．即f（x）在（

，＋∞）上存在单调递增区间时，a的取值范围是（－

，＋∞）．

（2）令f′（x）＝0，得两根x1＝

，x2＝

所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，

在（x1，x2）上单调递增．

2时，有x1<

1<

x2<

4，

所以f（x）在[1,4]上的最大值为f（x2），

又f（4）－f

（1）＝－

＋6a<

0，即f（4）<

f

（1）

所以f（x）在[1,4]上的最小值为f（4）＝8a－

＝－

，得a＝1，x2＝2，

从而f（x）在[1,4]上的最大值为f

（2）＝

6．（2013·

重庆高考）某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V平方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

[解析]　

（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·

2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元，又据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝

（300－4r2），从而

V（r）＝πr2h＝

（300r－4r2）．

因r>

0，又由h>

0可得r<

5

故函数V（r）的定义域为（0,5

（2）因V（r）＝

（300r－4r3），故V′（r）＝

（300－12r2），令V′（r）＝0，解得r1＝5.r2＝－5（因r2＝－5不在定义域内，舍去）．

当r∈（0,5）时，V′（r）>

0，故V（r）在（0,5）上为增函数；

当r∈（5,5

）时，V′（r）<

0，故V（r）在（5,5

）上为减函数．

由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8，

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．