届高三数学第一轮知识点课后强化训练题37Word格式.docx
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[答案] D
[解析] 方法一(数形结合法):
由题意知,f(x)过定点(4,-3),且斜率k=f′(x)<
3.
又y=3x-15过点(4,-3),k=3.
∴y=f′(x)和y=3x-15在同一坐标系中的草图如图,
∴f(x)<
3x-15的解集为(4,+∞),故选D.
方法二:
记g(x)=f(x)-3x+15,
则g′(x)=f′(x)-3<
0,
可知g(x)在R上为减函数.
又g(4)=f(4)-3×
4+15=0,
3x-15可化为f(x)-3x+15<
即g(x)<
g(4),结合其函数单调递减,故得x>
4.
4.若函数f(x)=
sin2x+sinx,则f′(x)是( )
A.仅有最小值的奇函数
B.仅有最大值的偶函数
C.既有最大值又有最小值的偶函数
D.非奇非偶函数
[解析] f(x)=sinxcosx+sinx,则f′(x)=cosxcosx+sinx·
(-sinx)+cosx=cos2x-sin2x+cosx=2cos2x+cosx-1,显然f′(x)是偶函数,又因为cosx∈[-1,1],所以函数f′(x)既有最大值又有最小值.
5.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=
在区间(1,+∞)上一定( )
A.有最小值B.有最大值
C.是减少的D.是增加的
[解析] ∵f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,∴a<
1.
∴g(x)=
=x+
-2a,
则g′(x)=1-
=
.
∵x∈(1,+∞),a<
1,∴x2-a>
0,即g′(x)>
0.
∴g(x)在(1,+∞)上是增加的.
6.(文)如图,某农场要修建3个养鱼塘,每个面积为10000m2,鱼塘前面要留4m的运料通道,其余各边为2m宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长、宽分别为( )
A.长102m,宽
mB.长150m,宽66m
C.长、宽均为100米D.长150m,宽
m
[解析] 设鱼塘长、宽分别为ym、xm,依题意xy=10000.
设占地面积为S,则S=(3x+8)(y+6)
=18x+
+30048,
令S′=18-
=0,得x=
.此时y=150.
(理)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:
太贝克)与时间t(单位:
年)满足函数关系:
M(t)=M02-
,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)=( )
A.5太贝克B.75ln2太贝克
C.150ln2太贝克D.150太贝克
[解析] 本题考查导数在生活中的应用.
M′(t)=-
ln2·
2-
,∴M′(30)=-
ln2=-10ln2,∴M0=600,∴M(t)=600·
,
∴M(60)=600·
2-2=150.
二、填空题
7.函数f(x)=x2-2lnx的最小值为________.
[答案] 1
[解析] 由f′(x)=2x-
=0,得x2=1.又x>
0,所以x=1.因为0<
1时,f′(x)<
0,x>
1时f′(x)>
0,所以当x=1时,f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f
(1)=1.
8.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=________.
[答案] 32
[解析] 令f′(x)=3x2-12=0,
得x=-2或x=2,
列表得:
可知M=24,m=-8,∴M-m=32.
9.在直径为d的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为________.(强度与bh2成正比,其中h为矩形的长,b为矩形的宽)
[答案]
d
[解析] 下图为圆木的横截面,
∵b2+h2=d2,
∴bh2=b(d2-b2).
设f(b)=b(d2-b2),∴f′(b)=-3b2+d2.
令f′(b)=0,由于b>
0,∴b=
d,且在(0,
d]上f′(b)>
0,在[
d,d)上,f′(b)<
∴函数f(b)在b=
d处取得极大值,也是最大值,
即抗弯强度最大,此时长h=
d.
三、解答题
10.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值;
(2)讨论g(x)与g(
)的大小关系;
(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<
对任意x>
0成立.
[解析]
(1)g′(x)=
,由g′(x)>
0,得g(x)的单调增区间为(1,+∞);
由g′(x)<
0,得g(x)的单调减区间为(0,1).因此x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.所以g(x)min=g
(1)=1.
(2)设h(x)=g(x)-g(
),则h′(x)=-
h′(x)≤0,∴h(x)在(0,+∞)上为减函数.
当x=1时,h
(1)=0,即g(x)=g(
);
1时,h(x)>
h
(1)=0,即g(x)>
g(
当x>
1时,h(x)<
h
(1)=0,即g(x)<
).
(3)由
(1)知g(x)的最小值为1,所以g(a)-g(x)<
,对任意x>
0成立⇔由g(a)-1<
,得0<
a<
e.
能力强化训练
1.(2013·
新课标Ⅱ)若存在正数x使2x(x-a)<
1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)
C.(0,+∞)D.(-1,+∞)
[解析] 由题意得,a>
x-(
)x (x>
0),
令f(x)=x-(
)x,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,
∴f(x)min>
f(0)=-1,∴a>
-1,故选D.
2.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1B.
C.
D.
[解析] |MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x-
,显然x=
是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=
3.(2014·
广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.
[答案] 4
[解析] (构造法)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;
0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥
-
.设g(x)=
则g′(x)=
所以g(x)在区间(0,
]上单调递增,在区间[
,1]上单调递减,
因此g(x)max=g(
)=4,从而a≥4.
当x<
0,即x∈[-1,0)时,同理a≤
g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4.综上可知a=4.
4.已知函数f(x)=
在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围为________.
[答案] [e,+∞)
[解析] f′(x)=
,因为f(x)在[1,+∞)上为减函数,
故f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
即lna≥1-lnx在[1,+∞)上恒成立.
设φ(x)=1-lnx,φ(x)max=1,故lna≥1,a≥e.
5.设f(x)=-
x3+
x2+2ax.
(1)若f(x)在(
,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)当0<
2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-
,求f(x)在该区间上的最大值.
[解析]
(1)由f′(x)=-x2+x+2a
=-(x-
)2+
+2a
当x∈[
,+∞)时,f′(x)的最大值为f′(
)=
+2a;
令
+2a>
0,得a>
所以,当a>
时,f(x)在(
,+∞)上存在单调递增区间.即f(x)在(
,+∞)上存在单调递增区间时,a的取值范围是(-
,+∞).
(2)令f′(x)=0,得两根x1=
,x2=
所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,
在(x1,x2)上单调递增.
2时,有x1<
1<
x2<
4,
所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2),
又f(4)-f
(1)=-
+6a<
0,即f(4)<
f
(1)
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a-
=-
,得a=1,x2=2,
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f
(2)=
6.(2013·
重庆高考)某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V平方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
[解析]
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·
2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元,又据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=
(300-4r2),从而
V(r)=πr2h=
(300r-4r2).
因r>
0,又由h>
0可得r<
5
故函数V(r)的定义域为(0,5
(2)因V(r)=
(300r-4r3),故V′(r)=
(300-12r2),令V′(r)=0,解得r1=5.r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V′(r)>
0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,5
)时,V′(r)<
0,故V(r)在(5,5
)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.