1、答案D解析方法一(数形结合法):由题意知,f(x)过定点(4,3),且斜率kf (x)3.又y3x15过点(4,3),k3.yf (x)和y3x15在同一坐标系中的草图如图,f(x)3x15的解集为(4,),故选D.方法二:记g(x)f(x)3x15,则g(x)f (x)30,可知g(x)在R上为减函数又g(4)f(4)34150,3x15可化为f(x)3x15即g(x)4.4若函数f(x)sin2xsinx,则f (x)是()A仅有最小值的奇函数B仅有最大值的偶函数C既有最大值又有最小值的偶函数D非奇非偶函数解析f(x)sinxcosxsinx,则f (x)cosxcosxsinx(sinx
2、)cosxcos2xsin2xcosx2cos2xcosx1,显然f (x)是偶函数,又因为cosx1,1,所以函数f (x)既有最大值又有最小值5函数f(x)x22axa在区间(,1)上有最小值,则函数g(x)在区间(1,)上一定()A有最小值 B有最大值C是减少的 D是增加的解析f(x)x22axa在区间(,1)上有最小值,a1.g(x)x2a,则g(x)1.x(1,),a0,即g(x)0.g(x)在(1,)上是增加的6(文)如图,某农场要修建3个养鱼塘,每个面积为10 000m2,鱼塘前面要留4m的运料通道,其余各边为2m宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长、宽分别为()A长102m
3、,宽m B长150m,宽66mC长、宽均为100米 D长150m,宽m解析设鱼塘长、宽分别为ym、xm,依题意xy10 000.设占地面积为S,则S(3x8)(y6)18x30 048,令S180,得x.此时y150.(理)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)M02,其中M0为t0时铯137的含量已知t30时,铯137含量的变化率是10ln2(太贝克/年),则M(60)()A5太贝克 B75ln2太贝克C150ln2太贝克 D150太贝克解析
4、本题考查导数在生活中的应用M(t)ln22,M(30)ln210ln2,M0600,M(t)600,M(60)60022150.二、填空题7函数f(x)x22lnx的最小值为_答案1解析由f (x)2x0,得x21.又x0,所以x1.因为01时,f (x)1时f (x)0,所以当x1时,f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)1.8已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则Mm_.答案32解析令f (x)3x2120,得x2或x2,列表得:可知M24,m8,Mm32.9在直径为d的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为_(强度与bh2
5、成正比,其中h为矩形的长,b为矩形的宽)答案 d解析下图为圆木的横截面,b2h2d2,bh2b(d2b2)设f(b)b(d2b2),f (b)3b2d2.令f (b)0,由于b0,bd,且在(0, d上f (b)0,在d,d)上,f (b)函数f(b)在bd处取得极大值,也是最大值,即抗弯强度最大,此时长hd.三、解答题10设f(x)lnx,g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g()的大小关系;(3)求a的取值范围,使得g(a)g(x)0成立解析(1)g(x),由g(x)0,得g(x)的单调增区间为(1,);由g(x)h(1)0,即g(x)g(当x
6、1时,h(x)h(1)0,即g(x)(3)由(1)知g(x)的最小值为1,所以g(a)g(x)0成立由g(a)1,得0ae.能力强化训练1(2013新课标)若存在正数x使2x(xa)x()x(x0),令f(x)x()x,则f(x)在(0,)上为增函数,f(x)minf(0)1,a1,故选D.2设直线xt与函数f(x)x2,g(x)lnx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B. C. D. 解析|MN|的最小值,即函数h(x)x2lnx的最小值,h(x)2x,显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t3(2014广州模拟)设函数f(x)ax33
7、x1(xR),若对于任意x1,1,都有f(x)0成立,则实数a的值为_答案4解析(构造法)若x0,则不论a取何值,f(x)0显然成立;0,即x(0,1时,f(x)ax33x10可化为a.设g(x)则g(x)所以g(x)在区间(0,上单调递增,在区间,1上单调递减,因此g(x)maxg()4,从而a4.当x0,即x1,0)时,同理ag(x)在区间1,0)上单调递增,g(x)ming(1)4,从而a4.综上可知a4.4已知函数f(x)在1,)上为减函数,则实数a的取值范围为_答案e,)解析f (x),因为f(x)在1,)上为减函数,故f (x)0在1,)上恒成立,即lna1lnx在1,)上恒成立设
8、(x)1lnx,(x)max1,故lna1,ae.5设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(,)上存在单调递增区间,求a的取值范围(2)当00,得a所以,当a时,f(x)在(,)上存在单调递增区间即f(x)在(,)上存在单调递增区间时,a的取值范围是(,)(2)令f (x)0,得两根x1,x2所以f(x)在(,x1),(x2,)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2),又f(4)f(1)6a0,即f(4)0,又由h0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5)时,V(r)0,故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知,V(r)在r5处取得最大值,此时h8,即当r5,h8时,该蓄水池的体积最大
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