一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法1Word文档下载推荐.docx
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我们知道，约当标准型T4AT的形式与矩阵A的特征方程
a11一人
a12
川am
det（A-2-E）=
a21
+
a22—h
V
F
川a2n
4
=0
an1
an2
HIann-丸
的根的情况有关•上述方程也称为常系数齐次方程组（3.20）的特征方程式.它的根称为矩阵
A的特征根.
下面分两种情况讨论•
（一）矩阵A的特征根均是单根的情形
设特征根为'
i,'
2,lH,'
n,这时
方程组（3.20）变为
电］
|dz2
dZn
-dx_
（3.23）
易见方程组（3.23）有n个解
把这n个解代回变换（3.21）之中，便得到方程组（3.20）的n个解
r.t.r.
（i=12川,n）
Y（x）二e"
?
玄气
I+
」ni-
这里T是矩阵T第i列向量，它恰好是矩阵A关于特征根初的特征向量，并且由线性方程组
因为
（A-iE）Ti=0所确定.容易看出，Y1（x）,Y2（x）,川,Yn（x）构成（3.20）的一个基本解组,
它们的朗斯基行列式W（x）在x=0时为W（0）=detT=0.于是我们得到
定理3.11如果方程组（3.20）的系数阵A的n个特征根彼此互异，且
人兀,川,人分别是它们所对应的特征向量，则
¥
（x）二eixTi,Y2（x）=e2工川|,Yn（x）=e%
是方程组（3.20）的一个基本解组
例1试求方程组
dxdt
化—x+5y-z
dt
y3z
dz
x-
的通解.
解它的系数矩阵是
3-11
A=-15-1
3-13_
特征方程是
1
-1=0
3—扎
3_九_1
det（A_丸E）=-15—九
3-1
32
-11•36'
；
—36=0
所以矩阵A的特征根为■1=2,乜=3,九3=6.先求九1=2对应的特征向量
a,b,c满足方程
a「bc=0
*—a+3b_c=0
a-b+c=0
故方程组的通解是
（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根
Y（x）=e〃Ti,场⑴“工
其中壬兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实
值解，这可由下述方法实现.
定理3.12如果实系数线性齐次方程组
有复值解Y（x）=U（x）iV（x）其中U（x）与V（x）都是实向量函数，则其实部和虚部
M（X）
证明因为Y（x）=U（x）•iV（x）是方程组（3.8）的解，所以
jx）iV（x）卜叫©
i也x）
dxdxdx
三A（x）[U（x）iV（x）]三A（x）U（x）iA（x）V（x）
由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：
dU^=A（x）U（x）,dV^=A（x）V（x）
dxdx
即U（x）,V（x）都是方程组（3.8）的解证毕.
定理3.13如果^（x）,Y2（x）^|,Yn（x）是区间（a,b）上的n个线性无关的向量函数，
d,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组
dM（x）%（x）],b2“（x）-Y2（x）],Y3（x）,川,Yn（x）（3.24）
在区间（a,b）上仍是线性无关的.
证明（反证法）如果（3.24）线性相关，那么依定义3.1存在n个不全为零的常数
C1,C2Jh，Cn，使得对区间（a,b）上的所有x皆有
Gbi[Y（x）+Y2（x）]+C2b2【Y（x）-丫2（刃]+C30X）+川+C"
n（x）三0
所以
（Gbi+C2b2）丫（x）+（Gbi-C2b2）丫2（X）+。
3丫3（口+川+Cn=（X）三0
因为丫（x）,丫2（x）川IM（x）线性无关，从而
C1b1C2b2=0,Gb|-C2b2=0,C3=0,1|l,Cn=0
从上式可知，C1bi=C2b2=0，因为bi,b2=0,故G=C2=0•即所有常数G,C2,IH,Cn都
等于零，矛盾•证毕.
由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现•即，如果’=aib是特征
根，则其共轭’二a-ib也是特征根•由定理3.11，方程组（3.20）对应于’=aib的复值解
形式是
这里T1是对应于，二aib的特征向量•由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方
程组（3.20）对应于特征根「=a-ib的解，记作Y2（x）=由加工,T2.现将上述两个
复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为
Yi（x）Y2（x）]
t11cosbx-112sinbxaxt21cosbx—122sinbx
e:
II
tn1cosbx-tn2sinbx
和丫1（x）-丫2（x）]=
t12cosbxt11sinbxaxt22cosbxt21sinbxe:
_tn2cosbxtn1sinbx
由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组（3.20）的解，并且由此得到的n个解仍组成基本解组.
例2求解方程组
一=x_y_zdt
解它的系数矩阵为
1—1-1
A=110
■301j
1—&
-1-1
det（A—）=11一九0
301-丸
即
（，一1）（2一2「5）=0
特征根为
加=1,丸2,3=1±
2i
先求'
^1对应的特征向量为
■01
「=1
T」
再求-12i所对应的特征向量T2.它应满足方程组
］「2i-1
（A—（1+2i）E）T2=1-2i
'
30
_2ia-b-c=0
a-2bi=0
3a-2ci二0
用2i乘上述第一个方程两端，得
4a-2bi-2ci=0
3a-2ci=0
显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和•故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即
a-2bi=0
3a-2ci=0
L
求它的一个非零解•不妨令a=2i,则b=1,c=3.于是2i对应的解是
一2门
「-2sin2t[
"
2cos2t]
e（H2i）t
=d（cos2t+isin2t）
t
=e
cos2t
+iet
sin2t
-
3一
ii
1-
3cos2t
1〕
3sin2t一
故原方程组的通解为
（三）矩阵A的特征根有重根的情形
由定理3.11，我们已经知道，当方程组（3.20）的系数矩阵A的特征根均是单根时，其基
本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量•然而，当矩阵A的特征方程
有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若■i是A的ki重特征根，则由齐次线
性方程组
（A-iE）Ti二0
所决定的线性无关特征向量的个数i,一般将小于或等于特征根、的重数ki.若i=ki,那
么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与iK，由线性代数的知识，此时
也可以求出ki个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩
阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型
T-1AT二
J2
h
q
Jm
其中未标出符号的部分均为零无素，而
「站10【
J严.彳（i=12lH,m）
\1
此相同.
Jm
根据（3.25）的形式，它可以分解成为m个可以求解的小方程组•
为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组（3.20）
的基本解组所应具有的结构•对于一般情形，其推导是相似的
设方程组
（3.26）
dY=ay
Dx
中A是5.5矩阵，经非奇异线性变换Y=TZ其中T=（tij）（i,j=1,2,II丨,5）且detT-0,
将方程组（3.26）化为
dZ
JZ（3.27）
我们假定
■1
「°
■2
这时，方程组（3.27）可以分裂为两个独立的小方程组
也、
=上1z*i+Z2dx
dz2
dz3
（3.28）
人Z3
dz4
一二’2Z4-Z5dx
dz5
（3.29）
在（3.28）中自下而上逐次用初等积分法可解得
z^=C3x2C2xC1
2!
21
Z2=（C3x+C2）e"
Z3二C3e1X
同样对（3.29）可解得
Z4=（C5XC4）e'
2x
Z5二C5e护
这里G,C2,III,C5是任意常数•由于在方程（3.28）中不出现乙，Z5,在（3.29）中不出现
Z|,Z2,Z3•我们依次取
G=1,C2=C3=C4=C5=0
Ci=0,C2=1,C3=C4=C5=0
Ci=C2=0,C3=1,C^=C5=0
Ci=C2=C3=0,C4=1,C5=0
Ci=C2=C3=C4=0,C5=1
可以得到方程组（3.27）的五个解如下
从而
是方程组（3.27）的一个解矩阵.又
detZ（0）=i=0,
所以（3.3i）是方程组（3.27）的一个基本解矩阵•而（3.30）是（3.27）的一个基本解组•现在把（3.30）
的每个解分别代入到线性变换Y=TZ中可得原方程组（3.26）的五个解，
tie巧
（ti-x+td/
t2ie沁
住必+上2）eix
t“e淤
，Y2=
（t3ix+t3）e"
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