一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法1Word文档下载推荐.docx

1、我们知道，约当标准型 T 4AT的形式与矩阵A的特征方程a11 一 人a12川 amdet（A - 2-E）=a21+a22 hVF川 a2n4=0an1an2HI ann -丸的根的情况有关上述方程也称为常系数齐次方程组 （3.20）的特征方程式.它的根称为矩阵A的特征根.下面分两种情况讨论（一）矩阵A的特征根均是单根的情形设特征根为i,2,lH,n,这时方程组（3.20）变为电| dz2dZn-dx _（3.23）易见方程组（3.23）有n个解把这n个解代回变换（3.21）之中，便得到方程组（3.20）的n个解r. t . r.（i =12川,n）Y（x）二 e ?玄气I +ni -这里T

2、是矩阵T第i列向量，它恰好是矩阵A关于特征根初的特征向量，并且由线性方程组因为（A- iE）Ti =0所确定.容易看出，Y1（x）,Y2（x）,川,Yn（x）构成（3.20）的一个基本解组,它们的朗斯基行列式 W （x）在x = 0时为W（0） = detT = 0 .于是我们得到定理3.11如果方程组（3.20）的系数阵A的n个特征根 彼此互异，且人兀,川,人分别是它们所对应的特征向量，则（x）二eixTi,Y2（x） =e2工川|,Yn（x） =e%是方程组（3.20）的一个基本解组例1试求方程组dx dt化x+5y-zdty 3zdzx -的通解.解它的系数矩阵是3 -1 1A= -1

3、5 -13 -1 3_特征方程是1-1=03扎3 _ 九 _1det（A_ 丸 E）= -1 5九3 -13 2-11 36； 36 = 0所以矩阵A的特征根为 1 = 2,乜=3,九3 = 6 .先求九1 = 2对应的特征向量a,b, c满足方程ab c = 0* a + 3b _ c = 0a-b +c = 0故方程组的通解是（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根Y（x）=eTi,场“工其中壬兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（ 3.20）的实值解，这可由下述方法实现.定理3.12如果实系数线性齐次方程组有复值解Y（x） =U（x） iV（x）其中U（x）与V（x）

4、都是实向量函数，则其实部和虚部M（X）证明 因为Y（x） =U（x） iV（x）是方程组（3.8）的解，所以jx） iV（x）卜叫 i 也x）dx dx dx三 A（x）U （x） iV（x）三 A（x）U（x） iA（x）V（x）由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：dU =A（x）U（x） , dV=A（x）V（x）dx dx即U （x） ,V （x）都是方程组（3.8）的解证毕.定理3.13如果（x）,Y2（x）|,Yn（x）是区间（a,b）上的n个线性无关的向量函数，d,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组dM（x） %（x）, b2“（x）-Y2（x）,

5、Y3（x）,川,Yn（x） （3.24）在区间（a, b）上仍是线性无关的.证明（反证法）如果（3.24）线性相关，那么依定义 3.1存在n个不全为零的常数C1,C2Jh，Cn，使得对区间（a,b）上的所有x皆有GbiY（x） +Y2（x） +C2b2【Y（x）-丫2（刃+C30X）+ 川+ Cn（x）三0所以（Gbi +C2b2）丫（x） +（Gbi -C2b2）丫2（X）+。3丫3（口+川 +Cn=（X）三 0因为丫（x）,丫2（x）川IM（x）线性无关，从而C1b1 C2b2 = 0, Gb| - C2b2 =0, C3 = 0,1 |l ,Cn = 0从上式可知，C1bi = C2b2

6、 =0，因为bi,b2=0,故G=C2=0即所有常数G,C2,IH,Cn都等于零，矛盾证毕.由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现 即，如果=a ib是特征根，则其共轭二a-ib也是特征根由定理3.11，方程组（3.20）对应于=a ib的复值解形式是这里T1是对应于，二a ib的特征向量由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组（3.20）对应于特征根=a-ib的解，记作Y2（x）=由加工,T2 .现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为Yi （x） Y2 （x）t11 cosbx-112 sin bx ax t21 cosbx 122 sin bxe :I It

7、n1 cosbx - tn2 sinbx和丫1（x） - 丫2（x） =t12cosbx t11 sinbx ax t22 cosbx t21 sin bx e :_tn2 cosbx tn1 sin bx由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组（3.20）的解， 并且由此得到的n个解仍组成基 本解组.例2求解方程组一 =x _ y _ z dt解它的系数矩阵为1 1 -1A = 1 1 03 0 1 j1& -1 -1det（ A ）= 1 1 一九 03 0 1-丸即（，一1）（ 2 一25） =0特征根为加=1,丸 2,3 =1 2i先求1对应的特征向量为01= 1T再求-1 2i

8、所对应的特征向量 T2.它应满足方程组2i -1（A（1+2i） E ）T2= 1 -2i3 0_2ia - b - c = 0a -2bi =03a -2ci 二 0用2i乘上述第一个方程两端，得4a -2bi -2ci =03a - 2ci = 0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即a-2bi =03a -2ci =0L求它的一个非零解不妨令a =2i,则b =1,c = 3.于是 2i对应的解是一2门-2sin 2t2cos2t e（H2i）t=d （cos2t +i sin2t）t=ecos2t+ ietsin2t-3 一i i1 -3cos

9、2t1 3sin2t 一故原方程组的通解为（三）矩阵A的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组 （3.20）的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量 然而，当矩阵 A的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若 i是A的ki重特征根，则由齐次线性方程组（A - iE）Ti 二 0所决定的线性无关特征向量的个数 i, 一般将小于或等于特征根 、的重数ki.若i = ki,那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与 i K，由线性代数的知识，此时也可以求出ki个线性无关的特征向量， 通常称为广义特征向量，

10、 以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵 A化成若当标准型T-1AT 二J 2hqJ m其中未标出符号的部分均为零无素，而站1 0【J 严 .彳 （i=12lH,m） 1此相同.Jm根据（3.25）的形式，它可以分解成为 m个可以求解的小方程组为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组 （3.20）的基本解组所应具有的结构对于一般情形，其推导是相似的设方程组（3.26）dY =ayDx中A是5.5矩阵，经非奇异线性变换 Y =TZ其中T = （tij）（i, j =1,2,II丨,5）且detT - 0 ,将方程组（3.26）化为dZJZ （3.27）我们假

11、定12这时，方程组（3.27）可以分裂为两个独立的小方程组也 、=上 1 z*i + Z2 dxdz2dz3（3.28）, 人Z3dz4一二2Z4 - Z5 dxdz5（3.29）在（3.28）中自下而上逐次用初等积分法可解得z = C3 x2 C2x C12! 2 1Z2 =（C3x+C2）eZ3 二 C3e 1X同样对（3.29）可解得Z4 =（C5X C4）e2xZ5 二 C5e 护这里G,C2,III,C5是任意常数由于在方程（3.28）中不出现 乙，Z5,在（3.29）中不出现Z| , Z2 , Z3 我们依次取G = 1,C2 = C3 = C4 = C5 = 0Ci =0,C2

12、=1,C3 =C4 =C5 =0Ci = C2 = 0, C3 = 1, C = C5 = 0Ci = C2 = C3 = 0, C4 = 1,C5 = 0Ci = C2 = C3 = C4 =0,C5 =1可以得到方程组（3.27）的五个解如下从而是方程组（3.27）的一个解矩阵.又det Z （0） =i = 0 ,所以（3.3i）是方程组（3.27）的一个基本解矩阵而（3.30）是（3.27）的一个基本解组现在把（3.30）的每个解分别代入到线性变换 Y = TZ中可得原方程组（3.26）的五个解，tie巧（ti -x + t d/t2ie 沁住必+上2）eixt“e淤，Y 2 =（t3ix + t 3）e