非线性微分方程和稳定性.docx
《非线性微分方程和稳定性.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性微分方程和稳定性.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
非线性微分方程和稳定性
第六章非线性微分方程和稳定性
6-1对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过0,x0的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。
1）
A0,B0,x0
2
AxBx2dt
2）
dtxx1x3,
x00
dxA
解1）方程可化为Bx（x），则其常数特解为
dtB
A
x10,x2，即为驻定解。
B
A
由于方程为分离变量方程
或迫努利方程），当x0,xBA时，分离变量得
1
xxA
x
B
dxAdt
方程的通解为
AxBxCeAt
利用初始条件
x00,x0BA，得
x0
C
ABx0
，故得原方程满足初始
条件的解为
x（t）
BABeAt
x0
t0
1）
由式
（1）和方程右端的表达式，得出
当x00时，
dt0，x（t）递增，
A
又BB
x0
x0
BeAt
B时，
x（t），
1A
即ttAln（x0B1）时，x（t）。
x00时xA0B
x0
0,
0,
A
dx
x0
0
B
dt
，有
A
dx
x0
0
B
dt
Ax（t）ABt
所以解
（1）的图像如图6-5所示。
从解的图像可以看出：
解x10不稳定；解x2
A
稳定。
B
A
利用变换yxBA，可将原方程化为
dyA（yA）B（yA）2AyBy2
dtBB
A
所以原方程的驻定解x2对应于方程
B
ddytAyBy2
的零解y0。
2）由xx1x30，求得常数解为
x10,x21,x33。
因为ft,xxx1x3在全平面上连续可微，故对任意初始点t0,x0，解唯一存
在，当t0,x0时有
在区域0x1，
dx
0，任意解xxt递增，在t时，以x1为渐近线。
dt
在区域1x3，
0，任意解xxt递减，在t时，以x1为渐近线。
dt
在区域x3，
0，任意解xxt递增，在t时，xt远离x3t3，dt
dx
又t，故xt有铅直渐近线。
dt
积分曲线的分布如图6-6所示。
图6-6
从图6-6看出：
当x00时，x（t）0；当0x03时，x（t）1，当t时，
驻定解x21稳定；x33不稳定。
令yx1，代入原方程，得
dyyy1y2
dt
令yx3，代入原方程，得
dyyy2y3dt
所以原方程的驻定解x21和x33对应于新方程的零解y0。
评注：
驻定解是使方程的左端为零的解，也就是常数解。
如果方程的通解能够解出，直接可研究驻定解的稳定性；如果方程的解不易得到，就从方程本身的特点研究其稳定性，这时可利用解的导数的符号得到解的单调区间从而推断驻定解的稳定性。
从题目中我们还可以知道，非零驻定解可以通过变量替换化为新方程的零解，这也是为什么在稳定性理论的研究
dx2
中只考虑零解稳定性的缘故。
方程AxBx2是著名的罗杰斯蒂克（Logistic）微分方dt
程型，常用来研究生态、经济等领域中的问题。
6-2试讨论线性方程组
dx
ddyt
dy
dt
axby
cy
的奇点类型，其中a，b，c为实数且ac0。
解因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件
又由
ac0，故线性方程组有唯一的奇点，
即原点0,0。
detAE
2acac0，
所以由定理6.1知，方程组的奇点0,0可以分为以下类型：
a,c为实数
ac0,奇点为结点ac
ac,c0,ac,c0,
ac0,奇点为鞍点（不稳定）
奇点为稳定结点奇点为不稳定结点
a（）0,c（）0,奇点为（不）稳定结点
b0,奇点为退化结点ac
b0,奇点为奇结点
评注：
讨论含参数系统的稳定性时，要注意各个参数的变化对奇点类型的影响。
6-3试求出下列方程组的所有奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态。
1）
dx2
9x6y4xy5xddyt
dy6x6y5xy4y2dt
2）
dx
y
ddyt
dyx（y
dt
x2）,0
解1）先求出奇点。
解方程组
2
9x6y4xy5x20
2
6x6y5xy4y0得
x10
y10
x22
y21
x31
，
y32
所以方程组1）有奇点为（0,0）,（1,2）和（2,1）。
再研究驻定解的稳定性态。
a）零解的稳定性态。
奇点（0,0）的一次近似方程组为
dx9x6y
ddyt
dy6x6ydt
其特征根16,23，有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知原系统的零解不稳定。
b）驻定解x1,y2的稳定性态。
Xx1
Yy2
将1）中方程组化为
dX
dt
dY
dt
2
7X2Y4XY5X2
4X5Y5XY4Y2
dX
dt
dY
dt
7X2Y
4X5Y
一次近似方程组为
2不稳
有正实部的特征根19,23，由定理6.3和定理6.5可知驻定解x1,y
定。
c）驻定解x2,y1的稳定性态令
Xx2
Yy1
将1）中方程组化为
dX7X2Y4XY5X2
ddYt
dYX8Y5XY4Y2dt
一次近似方程组为
dX
dt
dY
dt
7X2Y
X8Y
其特征根16,29，由定理6.3和定理6.5可知驻定解x2,y1渐近稳定。
2）先求出奇点。
解方程组
y0
2
x（yx2）0
x10y10
1
x2
y2
μ，
1
故系统2）有奇点为（0,0）和（1,0）。
f（x,y）
yxg（x,y）y
yPi
再研究驻定解的稳定性态。
一般地，对于系统
dx
dtf（x,y）
dt，它在驻定解Pi（xi,yi）的一次近似方程组为dy
g（x,y）dt
其中方程组的系数矩阵称为函数f（x,y）,g（x,y）关于x,y的雅可比矩阵。
在此题中，驻定解Pi（xi,yi）的一次近似方程组为
1x
dx
dt0
dy12μx
dt
所以系统2）零解的一次近似方程组为
4
有正实部的特征根1,2，由定理6.3和定理6.5可知零解xy0不稳定。
1
系统2）在（1,0）的一次近似方程组为
dxy
dt
dy
xμy
特征根为λ1,2
dt
，显然有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知驻定解
1
x1,y0不稳定。
1）的解法是先将驻
评注：
系统的常数解即为驻定解，对应到相平面上就是奇点。
本题定解平移至零解，然后利用它的一次近似系统的零解稳定性来研究非线性系统零解的稳定。
本题2）给出得到一次近似系统的另一种方法，是将系统在奇点处按泰勒公式展开取线性主部即可。
6-4研究下列方程（组）零解的稳定性。
1）
d3xd2x
dx
3526x0dt3dt2dt
1）
2）
ddxtμxy,ddytμyz,ddztμzx，为常数。
d2x
1）令y1x,y2dx,y32，
dtdt
则方程
（1）可化为为
dy1
ddyt1y2dy2y3dt3dy3
2）
dty16y25y3
10
det（EA）0
16
因为
5a01,a15,2
1
所以由霍维兹定理得，特征根均具有负实部，
1352610，
5
1
29,a31
6
因而
（2）的零解即
（1）的零解渐近稳定。
2）det（EA）
（）310，
11,
213i
2,3，
1
所以，当μ2时，特征根均具有负实部，方程组的零解是渐近稳定的；
1
当时，有正实部的特征根，方程组的零解是不稳定的；
2
1，故方程
1
当时，没有正实部的特征根，且具有零实部的根的初级因子的次数等于
2
组的零解是稳定的（但非渐近稳定）。
评注：
高阶方程零解的稳定性可化为与之等价的一阶线性微分方程组零解的稳定性问题
来研究，而常系数一阶线性微分方程组零解的稳定性可归结为它的特征根的问题。
注意霍维兹定理的应用。
6-5某自激振动系统以数学形式表示如下（范得坡方程）
ddt2x（x21）ddxtx0（0）
试讨论系统的平衡状态的稳定性态。
dx
解令yx,zddxt，则原方程化为
一次近似方程组为
dyddzt
dzdt
dyz
z
ddzt，
dzyzdt
10，得
μμ4
2，,22
具有正实部的根，由定理
6.3和定理6.5得方程组的零解不稳定，因而，所讨论系统的平衡
状态是不稳定的。
评注：
先将高阶方程化为与之等价的一阶线性微分方程组，
再研究方程组的一次近似系
统，应用定理6.5得到原系统的稳定性。
6-6研究下列方程组零解的稳定性：
1）
dxxy（xy）（x2y2）ddyt
dyxy（xy）（x2y2dt
2）
dxy2
ddyt
dydt
22
x（x2y2）
3）
dxdtxy,
6dyy3x4dt
4）
1）取定正函数Vx2y2，
x2y2
dV32x（xyxdt
2222
2（x2y2）（x2y21）0
22
xyxy
x2
222
y（xy）
dx
axxy,
dt
1，则
2dy
dt
2x4y（a为参数）
33223
y）2y（xyxxyxyy）
定负，所以由定理6.6知方程组的零解是渐近稳定的。
2）取变号函数V（x,y）xy，则
dV2222222yx（xy）xy（xy）dt
2222222
x2y2x（x2y2）y2（x2y2）
22dV
xy定正，故在原点的邻域内定正。
dt
（x,y）使
由于V（x,y）是变号函数，故在原点（0,0）的任意小邻域内都至少存在某点
V（x,y）0，故方程组的零解是不稳定的。
3）取正定函数
V（x,y）x4y4，
则有
dV3633446464x（xy）4y（yx）4xy4xy0dt
方程组的零解是稳定的。
4）取定正函数
V（x,y）1（x4y2），
4
则
dVx3（axxy2）1y（2x4y）ax4，
dt2
当a0时，
dV常负，方程组的零解是稳定的；
dt
当a0时，方程组的线性近似方程组具有正实部的特征根：
0,
。
特别注
因而方程组的零解是不稳定的。
评注：
利用李雅普诺夫第二方法研究系统的稳定性，关键寻找适当的V意寻找的V函数只要在零解的某一个邻域内满足条件即可。
6-7给定微分方程组
ddxtyxf（x,y）,ddytxyf（x,y），
其中f（x,y）有一阶连续偏导数。
试证明在原点邻域内如当f0，则零解是渐近稳定的，当f0则零解是不稳定的。
证显然原方程组的由初始条件所确定的解，在原点的某个邻域内存在且唯一。
x0,y0是方程组的特解。
取定正函数V（x,y）x2y2，则其通过方程组的全导数为：
ddVt2x（yxf（x,y））2y（xyf（x,y））2（x2y2）f（x,y）。
因此，在原点邻域内
当f0，则dV定负，零解为渐近稳定的；dt
当f0，则dV定正，零解为不稳定的。
dt
评注：
正确选择V函数。
d2x
6-8给定方程2f（x）0，其中f（0）0，而当x0时xf（x）0（kxk）。
dt2
试将其化为一阶方程组，并用形如V（x,y）1y2f（s）ds的李雅普诺夫函数讨论方程
dx解令dx
dt
组零解的稳定性。
y，则dyf（x），原方程化为
dt
dxy，dyf（x）
dtdt
取函数
12
V（x,y）12y2
x
0f（s）ds，
由于f（0）0，且当x0时，xf（x）0（kxk），所以
12
V（x,y）12y20f（s）ds
是定正函数，则有
ddVtyf（x）yf（x）0，方程组的零解为稳定的。
评注：
给出了一种V函数的构造方法。
6-9方程组dxdt
yx3,dy2（x3y5）能否由线性近似方程决定其稳定性问题？
试寻求李雅普诺夫函数以解决这方程组的零解的稳定性问题。
同时变动高次项使新方程的零解为不稳定的。
解由
det（EA）120，0
得1,20，属于临界情形，因此原方程的零解的稳定性态是不能由线性近似方程组来决定的。
为此，取定正函数
V（x,y）21（x4y2），
dV
dt
则
2x3（yx3）2y（x3y5）2（x6y6）0
定负，故原方程组的零解是渐近稳定的。
如果变动高次项，使
dx
dt
yx3,ddyt2（x3y5）
仍取定正函数
V（x,y）21（x4y2），
dV
dt
则有
2x3（yx3）2y（x3y5）2（x6y6）0定正。
则新方程组的零解为不稳定的。
评注：
当一次近似系统有初级因子的次数不等于1的零根或具零实部的根（即临界情
形）时，非线性系统零解的稳定性态是不能由线性近似方程组来决定的。
此题说明在临界情形下改变高次项既可使得系统稳定也可使其不稳定。
6-10试确定下列方程组的周期解、极限环，并讨论极限环的稳定性。
dx222yx（xy1）
1）
dt
dy222
xy（xy1）
dt
2）
dxyx（x2y21）dtx2y2
dy
dt
y22
x22（xy1）
x2y2
22
当x2y20
dx
dt
ddyt0，
1）取极坐标xrcos,yrsin，
则有
dx
dr
θrsin
dθ
cos
θ
dt
dt
dt
dy
dr
sin
θrcos
θdθ
dt
dt
dt
因而方程组可化为：
1）
由
（1）知，当r0和r1时，
drd
dr0而d1，即有两个特解：
dtdt
t
r0,dttt0tt0，
t0t
r1,tdttt0tt0，t0
第一个特解是零解，在相平面上为原点，是一奇点。
第二个特解表示以2为周期的周期解，即半径为1的等距螺旋线，在相平面上是以原点为圆心、半径为1的圆，这个圆就是
闭轨线，由方程组
（1）的第二式知，轨线是沿着逆时针方向旋转的。
下面判断此闭轨线是极限环。
在相平面上，以原点为圆心，任作一个半径为R0的圆，考察方程组通过这个圆上任一点（R,*）的轨线的走向：
当RR11时，由
（1）有
dr
drrR1R1（R121）20，r是t的递减函数，dt1
d*10，是t的递增函数，
dt*
故随着t的增大，
轨线按逆时针方向从圆rR1上走进圆内；
当RR2
1时，由
（1）有
dr2
rRR2（R221）20，r是t的递减函数，
dt2
d*10，是t的递增函数，表示轨线沿逆时针方向运动，dt*
故随着t的增大，轨线按逆时针方向从圆rR2上走进圆内。
综上所述得如下结论：
a）原方程组有周期解：
r1,tt0（tt0）；
b）闭轨线r1是孤立的，因而它是一个极限环；
c）此极限环的外侧轨线正向趋近于它，而内侧轨线负向趋近于它，因而是半稳定的。
2）取极坐标xrcos,yrsin，则原方程组可化为
2
2）
r（r1）rdtdθ
1
dt
方程组
（2）有两个特解
r0,θ为任意角
r1,t0t（tt0）
2为周期的周
1的圆，这个圆就是
其中第一个特解是零解，在相平面上为原点，是一奇点。
第二个特解表示以
期解，即半径为1的等距螺旋线，在相平面上是以原点为圆心、半径为闭轨线，由方程组
（2）的第二式知，轨线是沿着顺时针方向旋转的。
下面判断此闭轨线是极限环。
在相平面上，任作以原点为圆心，以
R为半径的圆，考察方程组通过此圆上任一点
（R,*）的轨线的走向：
当RR11时，
由
（2）有
drdtd
2
rR1R120，r是t的递增函数，
dt*
10，表示轨线沿顺时针方向运动，
2
rR1R20，r是t的递减函数，
当RR21时，由
（1）有
dr
10，顺时针方向。
dtd
dt*
所以，当t时，轨线均趋于圆r1，
因此圆r1是原系统的一稳定的极限环。
综上所述得如下结论：
a）原方程组有周期解：
r1,θt0t（tt0）；
b）闭轨线r1是孤立的，因而它是一个极限环；
c）此极限环的内外两侧的轨线顺时针趋近于它，因而是稳定的。
评注：
研究系统极限环时，常用极坐标变换，注意在极坐标下奇点和闭轨线的表达式。
研究极限环的稳定性时，需考虑闭轨邻域内轨线的走向。
注意区分周期解、闭轨和极限环。
6-11判别方程组
有无极限环存在
解因为
XY
xy
23（x2y2）
222所以由定理6.9可知，方程组在x2y2的区域内不存在极限环。
3
222下面讨论包括x2y2在内的区域上极限环的存在性。
3
取极坐标xrcos,yrsin，则原方程组可化为
1）
drr[r2（cos4sin4）1]dt
d1r2sin4
dt4
11
由于
由此，若
cos4θsin4θ1sin22θ，所以cos4θsin4θ的最小值为，最大值为1。
22
cos4sin4取1时，dr0，则dr0恒成立；若cos4sin4取1时
2dtdt
dr0，
dt
则dr0恒成立。
dt
a）令cos4sin412
1
r[r2（cos4sin4）1]r[r21]0，1
则因为r0，故12r210，即有r2。
于是当r2时，恒成立
dr244
r[r2（cos4sin4）1]0，
dt
又此时当r2时，
dr2
1sin40。
dt4
因此，在相平面上，以原点为圆心，以R12为半径作圆，则在此圆以外的邻近区域内，轨线沿顺时针方向向外走。
b）同理令cos4sin41
r[r21]0，得r1（r0），
dr
于是，当0r1时，0恒成立。
dt
又此时d1rsin40恒成立。
dt4
因此，在相平面上，以原点为圆心，以R21为半径作圆，则在此圆以外的邻近区域内，轨线沿顺时针方向向圆内走。
又在环形域D:
R2rR1内，没有方程组的奇点，故由a）和b）知原方程组在环形域D内一定存在不稳定的极限环。
评注：
班狄克生环域定理（定理6.8）是判断极限环存在的有效方法，注意环域的构造。
定理6.9是寻找极限环不存在的区域的简捷方法。
6-12考虑方程组
其中函数X（x,y）,Y（x,y）在单连通区域D内有连续偏导数，假设存在函数B（x,y），其一
于零。
试证明上述方程组于域
D内不存在任何周期解。
应用此结论证明方程
2
dt2dtdt
没有极限环存在，其中a,b,,为常数，且b0。
证假设D内存在周期为T的周期解
:
xx（t）,yy（t）,0tT，
根据格林公式，则对于由所围成的区域D（DD）有
（（BX）（BY））dxdy（BXdyBYdx）Dxy
（BXdyBYdx）dt
dtdt
dtdt
B（XYYX）dt0，
所以
（BX）（BY）0，xy
这与已知（BX）（BY）在D的任一子域内不恒等于零相矛盾，故原方程组在D
xy
内不存在任何周期解。
dxd2x
令y，则可将方程2ax
dtdt2
bddxtx2（ddxt）20化为方程组
dxy
dt
dy22axbyαxβy
dt
取B（x,y）be2x，则
（BX）（BY）xy
（be2βxy）（abe2βxxb2e2βxyαbe2βxx2βbe2βxy2）
xy
2βx22βx2βx22βx
2βbeybe2βbeybe0（b0）
所以方程不存在任何周期解，当然更没有极限环存在。
Dulac）准则，关键寻找杜
评注：
本题给出了极限环不存在的判别方法，称为杜拉克（
拉克函数B（x,y）。
6-13证明下列方程（组）
存在唯一的稳定极限环
1）
dx
y
dt
dy5xyx
1）
dt
2
3x2y
d2x
2）ddt2x（x
2n）ddxtx2m10，（,,为正常数，m,n为正整数）。
证1
升级会员 