相似三角形中证明技巧文档格式.docx
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ACdF，
方法二：
如图，过
A
DBF
EC竺即EMAC
"
Bd，
EC
EF
DF
EM（
、到为中间比）,
BDBD
ABDFACEF
作DN//EC交BC于N
D
则有，BDNBAC，
BD
DN
AC
理
ECF
DNF，
而BDEC（已知）
（
dN为中间比），
、作垂线
3.如图从一ABCD
即BDACABDN（比例的基本性质）
ABDFACEF
顶点C向AB和AD的延长线引垂线
CE和CF，垂足分别为E、F,求
证：
ABAEADAF
AC2
F
C
M
/
//
N
1
AB
二
BE
过
B作BM丄AC于M,
过D作DN丄AC于
N•
ABMsACE
AMAB
ABAE
ACAM
（1）
AEAC
又
ADNsACF
AN
AD
•AD
AF
ACAN
（2）
+
（2）ABAEAD
AC（AMAN）
ADNBCM
•AN=CM
AC（AMCM）
三、作延长线
例5.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于
2
F,FGAB于G，求证：
FG=CF?
BF
FGCF
解析：
欲证式即由“三点定形”，ABFG与ACFG会相似吗？
显然不可能。
BFFG
個为ABFG为RtA）,但由E为CD的中点，.••可设法构造一个与ABFG相似的三角形来求
解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
冲AF则-
AE
•FG
FGFH
EDEC
FH
ED
又ED=EC•••FG=FH又易证RtACFHsRtAGFB
CFFH
FGBF
•/FG=FH•FG2=CF•BF四、作中线例6如图，
BD=DC=EC=1
•••FG•FH=CF•BF
ABC中，AB丄AC,AE丄BC于E,D在AC边上，若，求AC。
M,
解：
取BC的中点
又BD=DC
CDBC
连AM
DBC
•/AB丄AC
DCB/
•AM=CM
DC=1
MACs
MCAC
DCBC
MC=BC
MC
•AC-
BC
2Bc2
（1）
CE
DC
RtAECsRtBAC又•/EC=1
BCBC
（2）
（1）
（2）得，ACAC4•AC
利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似,
DBC相似是解题关键
练习题
1、在厶ABC中，D为AC上的一点,
求证：
EFXBC=ACXDF
2、ABC中，ACBMN过Q且MN丄CP,
90，AC=BC交AC、BC于
•/1=/C
BC中点M，构造MAC与
E为CB延长线上的一点，BE=AD,DE交AB于F。
P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），
M、N，求证：
PA:
PBCM:
CN。
B
例1:
已知：
如图，△
BC2=2CD•AC.
ABC中，AB=AC,BD丄AC于D.
证法一（构造2CD）:
如图，在AC截取DE=DC,
EC=
•/BD丄AC于D,
•BD是线段CE的垂直平分线,
•BC=BE，•/C=/BEC,又•••AB=AC,
•••/C=/ABC.
•••△BCEs\ACB.
BCAC
CEBC
•BC2=2CD证法二（构造
•/AB=AC,
•AB=AC=AE.
-AC.
2AC）:
又•••
2CD
如图，在
CA的延长线上截取AE=AC,
E
EBC=90°
BD丄AC.
EBC=/BDC=/EDB=90
E=ZDBC,
•△EBCBDC
•BC"
CD
2AC
”CD
•BC2=
=2CD
•AC.
证法三
（构造
BC）
:
如图，取BC的中点E,连结AE，则
1BC.
又•••AB=AC
/ACE=
•AE丄BC,
•••/AEC=/BDC=90
CEAC即2BC
CDBC
•BC2=2CD
BC）：
•/BD丄AC,•BE=EC=EB,
•/EDC=/C
证法四（构造
如图，取BC中点E,连结DE,则CE=
-BC.
又•••AB=AC，•/ABC=/C,•△ABCEDC.
匹些J即BCCDECCD
1BC
•BC2=2CD•AC.
例2.已知梯形ABCD中，AD//BC,BC3AD,E是腰AB上的一点，连结CE
（1）如果CEAB,ABCD,BE3AE，求B的度数；
（2）设BCE和四边形AECD的面积分别为3和S2，
BE
且2Si3S2，试求的值
（1）设AEk,则BE3k
解法1如图，延长BA、CD交于点F
AD//BC，BC3AD，
AF2k，E为BF的中点
又CEBFBCCF，又CFBF
3AF
BCF为等边三角形故B60
解法2如图
作DF//AB分别交CE、CB于点G、F则CEDF，得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF为等边三角形
故B160
解法3如图
作AF//EC交CD于G，交BC的延长线于F作GI//AB，分别交CE、BC于点H、I
则CEGI，得矩形AEHG
AF//CE
又BC3AD
CF
AD，故G为CD、AF的中点
以下同解法1可得CGI是等边三角形
解法4如图,
作AF//CD，交BC于F，作FG//CE，交AB于G，得平行四边形AFCD，且FGAB
读者可自行证得ABF是等边三角形，故B60
解法5如图
延长CE、DA交于点F，作AG//CD，分别交BC、CE于点G、H，得平行四边形AGCD
可证得A为FD的中点，贝UAH2k，故160
得ABG为等边三角形，故B60
解法6如图（补形法），
读者可自行证明CDF是等边三角形，
得BF60
（注：
此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）
（2）设Sbce3S，则S四边形aecd2S
解法1（补形法）如图
补成平行四边形
ABCF,
连结AC,贝U
2AD
设SACD
x,
则SACE
2S
SCDF
2x
由SABC
SACF得，3s
2s
x
2x,
5
xs
4
Sace
3
S
BCE
3s
34
-s
ACE
解法2
（补形法）如图，延长
BA、CD交于点F，
SFAD
SABC
8
S梯形ABCD
5s
SFEC
21
又SEBC3s
s,
SFBC
7
SBEC
设BE
8m，则
EF7m,
15m,
AF5m
2m,
解法3
（补形法）
如图
连结AC,作DF//AC交BA延长线于点F连结FC
则FADsABC,故AB3AF
（1）
SACD
SACF,
S四边形AECD
SBCE
故2BE
3EF
3（AEAF）
3AE3AF
（2）
由
（1）、
（2）两式得BE4AE
解法4（割补法）如图
即匹
连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G,如图，过E、A分别作高g、h?
SEBC
h1
h2
又BC
BG
SABG
BE,
，故
则CGAD且S四边形AECDS四边形AECG，
说明本题综合考查了等腰三角形的性质性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形
例3.如图4-1，已知平行四边ABCD中，
于G.求AG:
AC的值.
AF-AD
E是AB的中点，3，连E、F交AC
解法1:
延长FE交CB的延长线于H,
四边形ABCD是平行四边形，「
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